第 45章 PCA方法

    pca的主要目的是最大化数据的方差，同时最小化特征间的相关性。以下是pca方法的详细解释：

    1 计算协方差矩阵：首先，我们需要计算数据的协方差矩阵。协方差矩阵衡量了原始特征之间的相关性和方差。对于n个样本和p个特征的数据集，协方差矩阵c是一个pxp的矩阵，其中第i行第j列的元素表示第i个特征与第j个特征之间的协方差。

    2 计算特征值和特征向量：接下来，我们需要计算协方差矩阵的特征值和特征向量。特征值表示了原始特征在协方差矩阵中的重要性，特征向量表示了原始特征在协方差矩阵中的方向。特征值的大小反映了对应特征向量对数据方差的贡献程度。

    3 选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。主成分是原始特征的线性组合，能够最大程度地保留数据的信息。

    4 转换数据：将原始数据投影到选定的主成分上，得到降维后的数据。在这个例子中，我们将使用选定的k个主成分来表示原始数据。转换后的数据可以通过以下公式计算：

    z = x  p

    其中，z是降维后的数据，x是原始数据，p是包含k个特征向量的矩阵。

    scikit-learn库提供了pca的实现。以下是使用scikit-learn库进行pca降维的示例代码：

    代码重复下边的

    在主成分分析（pca）中，选择主成分的过程主要取决于特征值的大小。特征值表示了原始特征在协方差矩阵中的重要性，特征值越大，对应特征向量对数据方差的贡献程度越高。因此，选择主成分的过程通常基于以下原则：

    1 累计方差解释比：累计方差解释比（cumulative variance explained ratio, cver）是衡量降维后数据保留原始数据方差的能力。cver表示已选的主成分所解释的方差与总方差之间的比例。在选择主成分时，我们希望尽可能保留原始数据的信息，因此需要选择那些具有较高特征值的主成分。在实际应用中，可以根据预定义的cver阈值来选择主成分。

    2 主成分选择方法：选择主成分的方法有以下几种：

    a) 选择最大的k个特征值对应的特征向量作为主成分。这种方法可以保证所选主成分的方差贡献最大，但可能无法获得最佳的cver。

    b) 选择前k个累积方差解释比达到预定阈值的特征值对应的特征向量作为主成分。这种方法可以保证所选主成分的累积方差解释比满足要求，但可能导致部分特征值对应的特征向量被忽略。

    3 确定主成分数量：在选择主成分时，需要确定降维后的特征数量（即主成分数量）。这通常取决于实际应用的需求和数据的特点。在一些情况下，可以根据领域知识或经验来确定主成分的数量；在另一些情况下，可以通过交叉验证等方法来选择最佳的主成分数量。

    以下是一个使用scikit-learn库进行pca降维并选择主成分的示例代码：

    ```python

    from sklearndeposition import pca

    import pandas as pd

    import numpy as np

    读取数据集

    data = pdread_csv(&34;high_dimensional_datacsv&34;)

    预处理数据（例如：缺失值处理、数据转换等）

    计算协方差矩阵和特征值

    pca = pca()

    pcafit(data)

    选择主成分

    num_ponents = 10

    cumulative_explained_variance = npcumsum(pcaexplained_variance_ratio_)

    threshold = 09  设定累积方差解释比阈值

    selected_ponents = 0

    while selected_ponents ＜ num_ponents and cumulative_explained_variance[selected_ponents] ＜ threshold:

    selected_ponents += 1

    转换数据

    reduced_data = pcatransform(data)[:, :selected_ponents]

    将降维后的数据与原始数据合并

    reduced_data = pddataframe(reduced_data, columns=[f&34;pc{i+1}&34; for i in range(selected_ponents)])

    merged_data = pdconcat([data, reduced_data], axis=1)

    保存降维后的数据集

    merged_datato_csv(&34;reduced_dimensionality_datacsv&34;, index=false)

    ```

    在这个示例中，我们设定了一个累积方差解释比阈值（09），然后根据阈值选择主成分。这种方法可以保证所选主成分的累积方差解释比满足要求。