柏拉图主义与集合论终极宇宙

    摘 要 ：假设 =终极 l，则连续统假设为真，并且所有关于集合论的独立性问题都 可以还原为有关更大无穷的公理，它还为集合论提供了一个对科思力破免疫的公理化 基础。在这个意义上，这将是哥德尔纲领的一个实现。更进一步，如果 ：终极l是真 的，那么就存在一个独特的集合论模型，从某种意义上说它就是真实的集合宇宙。这一 事实本身说明集合的宇宙是一个确定的客观实在，可以看作是支持柏拉图主义的证据。

    关键词 ：柏拉图主义；哥德尔纲领；终极l；连续统假

    中图分类号：b81 文献标识码 ：a

    本文打算讨论这样 的一个问题：哥德尔所坚持的柏拉图主义如何影响着在他 之后的数学基础研究，特别是集合论的研究。一方面，将柏拉图主义作为工作假 设在很大程度上影响了集合论发展的走 向，另一方面，这些研究的一些 出人意料 而又极具意义的重大进展又在一定程度上为柏拉图主义做出了有力的辩护。哲学 和数学之间这样显明的关联是不多见的，在我们看来对这类关联的研究是数学哲 学中最有意义的课题之一。

    在讨论正题之前，针对数学中的柏拉图主义和数学哲学研 究的方法论 问题 ，我 们想先谈一点看法 ，因为在现有 的数学哲学研究中，大家的出发点和研究 问题方 式是很不相 同的。

    首先，本文不打算就哥德尔本人的强实在论立场作深入的讨论 。哥德尔的柏 拉 图主义，在他 1944年 的 “罗素的数理逻辑”([2])中就有所显示 。在罗素篇 中， 哥德尔引用了罗素将逻辑学与 自然科学在本体论上的类 比， “逻辑学一如动物学， 它研究实在的世界，不过是研究其更抽象、更一般的特点而 已” ([6])；提到在 认识论上的类 比，逻辑和数学的公理不必非得具有 自在的显明性不可 ，而是可 以 从如下事实获得核证，它们 的后承与数学史的发展 中被发现为 自明的东西相符合 。 哥德尔评论道：“这个观点已然大体上为后续的发展所核证，而将来可望获得更 多的核证 ”。近些年集合论的发展 ，似乎为哥德尔的预言做了进一步的核证。如同 罗素 (早期的)这种实在论观点一样，我们认为对科学这个概念不能仅仅理解为 实验科学或 自然科学，而是要把数学这样的 以抽象概念为研究对象的科学包括在内。因此 ，数学哲学与物理学哲学和生物学哲学一样，是科学哲学这一大类中的 一 员，而不是分析哲学或者其他什么哲学的一个分支 。

    在方法论上，仅靠分析数学的语言只能把握数学思想 (或是数学哲学思想 )很 小的一部分；而且通常是在该数学领域发展成熟之后才可以进行 。元语言和对象 语言的划分特别能说明这一点。虽然，理论上我们在数学中可以使用严格化的形 式语言作为对象语言，但是却不可能有完全形式化 的元语言。当我们对形式化的 数学做分析时，工作于其中的元理论是非形式化的，这个元理论的边界十分模糊 。 虽然有哲学家认为元理论包含 了严格有穷的数学，但没有证据表明，严格有穷的 数学就是数学的全部。即便是在形式系统内部，数学家的工作也不是借助推理的 规则推演出那些定理 。更多的情况是通过对数学世界的某种直观或认知，猜想或 者断言某些事实是真的，然后再以证明的方式去验证。本文涉及的集合论中的一 些最新的进展特别表明了这一点。

    在方法论的另一方面 ，我们认为把数学实践统统归结到大脑神经元的活动对 数学哲学的研究作用不大。就像物理学哲学不会把物理学家的大脑作为研究对象 一 样，分析数学家的大脑也无助于数学真理的获得 。有众多的哲学理论试图将数 学语言中有关数学对象，特别是无穷对象的存在断言进行重新解释 ，使其本质上 成为谈论某些有穷的物理对象，如符号，或大脑内部某种状态的言语 。但是 ，迄 今为止，没有任何哲学理论能如其声称的那样完成这种解释 。尽管我们相信脑科 学的发展会对数学哲学产生根本性的影响，但今天 的脑科学知识距离分析人的思 维活动还差得很远。现在就期待脑神经科学家来给数学哲学 问题提供答案是对问 题的过度简化。在这种简化下，人类 的所有思维，无论是物理学、数学还是文学 都 (在当今 的科技条件下)毫无区别。一种健全的数学哲学最起码要与数学实践 密切相关，否则只能成为文字游戏。

    抱着这样的信念，我们就不可避免地要密切关注当代数学的进展。任何有关 哲学的论断，都要尽可能地在 已有或正在取得的数学成果中寻找相关的 “证据 ”。 这里的情形可以与物理学哲学做一个比较 。一大部分的物理学哲学研究，如果不 是全部的话 ，与近百年来物理学在一些基础 问题上 的重要理论和进展密切相关 。 但正如科纳 (p．koellner)所指出的，数学哲学中绝大多数工作却相反，它们与当 代数学的发展几乎毫无关系。([5])造成这种局面 的原因十分复杂，不属于本文 讨论的范围。但是，十分确定的是：加强这个方向的研究，保持数学哲学与数学 的最新进展的密切联系，应该能期待 巨大 的收获。当然，这也不可避免地使得这 类数学哲学研究更为数学化。

    最后，文章中的数学定义和定理，从某种意义上，是我们为论证而搜集的证 据。借助这些定理 ，读者可 以更好地把握概念间的关系，大致看 出当今集合论发 展的脉络 ，从而体会 出其 中的哲学意蕴。

    1 独立性现象与数学真理

    集合论中充满了独立性现象 。在这些现象背后的是有关集合论真理的哲学问 题 ，即 ：

    一 个集合论语言中的语句 dr是真的，这是什么意思

    有一派观点认为 是真的当且仅 当 在 zfc中可证。

    我的感觉是，除 了那 些一致 性命 题，zfc 穷尽 了我们 的直观 ，所 以，证 明意味着在 zfc 内 证 明。([7]，第 3页)

    而这就意味着那些独立于 zfc的语句没有真假可言。

    这是 一个 有重大影 响的选择。其 中最重要的影响就是承认 ch 本身是 无意义的，而 ch 也 许是 我们对 不可数 集合所能提 出的 第一个重要 问题 。(【1]，第 l3页)

    这样的立场被称为 “形式主义 ”。与之相对应的立场是 “柏拉图主义”，它认为一 个集合论语句为真当且仅当它描述 了集合宇宙 中的一个客观事实。独立性命题产 生的原 因是我们对客观数学世界的认识不够完备。但这不意味着这些命题本身是 没有真假的无意义命题 ，相反随着对集合宇宙认识 的不断深入 ，我们最终会决定 它们 的真假 。

    … … 基 于此处采取 的立场，从 已接 受的集合论公理 出发，一个有 关康托猜 想的不可判 定性 的证 明 (与一个对 7r的超越性 的证 明完全不 同)决不是 问题 的解 决。……集合论概念和 定 理描述了一个完全确定的实在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受 公理的对 它的 不可判 定性 ，只 能意味 着这些公 理没有完备地描述那个 实在 。这一信念 绝非 空想，因为有 可能指出一些方向 ，在其 中能得 到对 一些问题 的判 定，而这些 问题对 于通 常 的公理是不可判 定的。([4]，第 260页)

    把所有独立于 zfc的命题都看作无意义的，这种观点有一个困难就是这些命题在 认识论地位上不是完全等价的。例如 ，有人认为 ch无意义 ，因为 “任意实数的 子集 ”这个概念模糊不清 。但是，几乎不会有人认为 “所有投影集都是可决定的 (pd)”无意义，因为这其中并不涉及 “任意实数子集 ”的概念 ，而 只是谈论了投 影集这样 的具体可定义的数学对象。但 pd与 ch一样 ，是独立于 zfc的。因此， 武丁 (h．woodin)向形式主义提出了如下挑战：

    … … (形 式主 义)这种立场要站得住脚 ，那就 或者 集合论 中类似 的不可解 问题也必须被看 作是无意义的 ，或者必须解释 为什 么连续 统假设 的问题 是与那些 问题不 同的 。我指 的是那 些描 述集合论的经典 问题 ，它们在连 续统假设提 出不久也被提 了出来 。([8】，第 29页)

    这要求人们进一步仔细分析 pd与 ch：

    定义 1．1 无穷基数 是武丁基数当且仅 当对任意函数 f： -÷ ，存在初等嵌入 j：v_÷m ，如果 =c ()，则 ， 并且 (，)() m。我们用w ：．fi是武丁基数1 是武丁基数1表示全体伍丁基数的类。

    1985年武丁证明了以下定理：

    定理 1．2(武丁，1985) 如果 m 是 zfc的传递模型，并且 m }“w 是真类 ”，则 对任意 m 脱殊滤 g， 。

    vm1 ． 蕴涵着 和 初等等价 ，因此 以上定理就表明，如果 存在任意大的武丁基数，则任何形如 “ +1}仃”这样的句子都不能用 (集合)力 迫的方法证明其独立性。此时我们称 +1的一阶理论 th( +1)是脱殊绝对的。 这一结果的意义在于，大基数公理 (存在任意大武丁基数)可以给有关th( +1) 的所有 问题以确定的回答。又由于 pd，乃至经典描述集合论中所有有关投影集的 问题都属于 th( +)，这也意味着在大基数公理下，它们都有确定的真值，而不 再是独立的。特别地，对 pd马丁和斯蒂尔 (martinandstee1)证 明了：

    定理 1-3f马丁 、斯蒂尔，1985) 如果存在无穷多武丁基数 ，则 pd成立 。

    进 而 ：

    推论 1．4 对任意传递模型 m ，如果 m }zfc+“w 是真类 ”，则对任意 m 脱 殊滤 g，都有 m fg1}pd。

    反观 ch，列维 (levy)和索洛维 (solovay)1967年证明了：

    定理 1．5(列维、索洛维 ，1967) 令 l为任意一条 己知的大基数公理，假设 m 是zfc的传递模型并且 m } l，则存在 m 脱殊滤 g和 h， [g】 l+ch而 [h]}o&34;l+ ch。

    比较推论1．4和定理1．5，我们看到：在 pd与 ch之间确实存在着带有根本意 义的差别。与 pd不同，大基数公理对 ch的独立性无能为力。这种差别是否可以 帮助形式主义回应以上挑战呢

    2 多宇宙真理观与 q猜想

    我们首先将形式主义可能的回应严格描述 出来 ，这需要一系列的定义 。 定义 2．1 令 m 为 zfc的可数传递模型，则由 生成的脱殊多宇宙vm为满足 以下条件的最小模型类 ：

    1．m ∈ vm ；

    2．如果n ∈vm，而 n =n[a1是 4 的脱殊扩张，则n ∈vm；

    3．如果n ∈vm，而 n=n fg]是 4 的脱殊扩张，则n ∈vm。

    简单说，vm是包含 m 并且对脱殊扩张和脱殊收缩封 闭的最小模型类 。由v生成的脱殊多宇宙记作 v。

    定义 2．2(脱殊多宇宙的真) 对任 意 zfc的可数传递模型 m ，和对任意集合论语 言中的语句 ，我们称

    · 是m．脱殊多宇宙真 的，当且仅当它在 vm的每个模型中都真 ，记作 vm } ；

    ·盯是m 一脱殊多宇宙假的当且仅 当 vm } 仃；

    · 是m ．脱殊多宇宙无意义的当且仅 当 vm 并且 vm 。

    特别地，如果 在 由 生成的脱殊多宇宙中为真，则称 是脱殊多宇宙真的，记 作 v} 。其他概念类似。

    根据推论1．4，如果 vm 的每个模型都满足 “w 是真类 ”，则 pd是 脱殊多 宇宙真的；根据定理 1．5，对任意 m ，ch都是脱殊多宇宙无意义的。这看起来使 得脱殊多宇宙立场比形式主义更精致，也更合理。似乎也在一定程度上回应 了武 丁的挑战。但是，武丁又通过一系列的数学工作论证了脱殊多宇宙立场难以成立 ， 这需要定义武丁的 q逻辑 以及 q猜想。

    回忆一下，对任给结构 ，2【的理论定义为：

    th(pa)={ izfc}“2l} ”)。

    仿此 ，我们定义任意结构 2【在脱殊多宇宙真理观下的理论为：

    thm(9．1)=．[ jv}“9．1} ”)。

    对任意语句 ，形如 “对任意无穷序数 ol， } ”的断言是 22断言。事实上，脱 殊多宇宙的真理概念只适用于 22语句 ，这是因为我们在 定义脱殊多宇宙真理概 念时只允许使用集合力迫。令品是最小的武丁基数，则日(对)} 和日(时) 都是 22断言。因此 ，如果令

    m22={ iv 并且 是ii2语句)

    为所有2 多宇宙真语句的集合，则 thm(日(对))在集合 2。中是递归的。但 是，仿照塔斯基的真理不可定义性，相反的方向应该不能成立 ，人们把它总结成： 第一多宇宙定律 所有 2。多宇宙真语句的集合 mii2在 日(酣)的脱殊多宇宙理论 thm(日(跗))中不是递归的。

    这一定律要求不能把整个集合宇宙中的所有 2 真理，更不必说所有真理，归结 为集合宇宙的一个片段 日(酣)中的真理。这是一个合理的要求，因为如果脱殊多 宇宙的模型类中只有 一个模型，则以上定律是显然成立的。

    称一个集合y 是借助多宇宙在 日( )中可定义的，如果 y在多宇宙模 型类的每个模型中都是在 日(对)中可定义的。出于同样的哲学考量，还可以有： 第二多宇宙定律 所有22多宇宙真语句的集合 m2。不是借助多宇宙能在日(时) 中可定义的。

    如果脱殊多宇宙的真理观不能满足 以上两条定律，那它与形式主义在根本哲学立 场上就是一致的，即： 把整个集合宇宙的真归结为这个宇宙的某个清晰片段的真。

    形式主义者把集合宇宙的真理归结为 zfc的定理，也就是归结为数论 中的真，而 脱殊多宇宙立场则是把集合宇宙的 (22)真理归结为日(酣)，全体基数不超过最 小武丁基数 的集合。哥德尔借用他的不完全性定理 ，曾对形式主义 的这一立场做 过令人信服的反对。[3])而武丁则同样令人信服地证明，以上形式的脱殊多宇宙 立场必然违反这两个定律，所以与形式主义的真理观并无根本差别。

    定义 2-3(武丁，1999) 假设 是集合论语言中的可数理论， 是集合论语言中 的语句，我们定义 cr是 的 一逻辑后承，记作 t} ，当且仅当对任意完全布 尔代数 b，对任意序数 ，如果 t，则 } 。

    定理 2．4(武丁，1999) 假设 w 是真类 ，并且假设 是可数理论， 是语句，则 对任意完全布尔代数 b， t}q 当且仅 当 vb}“t}n ”。

    这就是说，假设存在武丁基数的真类，q-逻辑后承关系是脱殊绝对的。特别 地 ，全体 q一逻辑有效式的集合 ={ i} )不能被任何力迫改变。

    还注意到，假设 w 是真类 ，则 m 2。与 具有同样的图灵复杂度，即，每 个集合都在另一个集合 中是递归的。同样，假设 w 是真类，则集合 (日( ))= { izfc} “日(对)}盯”}恰好就是tha4(h(6o+))。

    为 了定义 q逻辑的证明，我们需要回忆一些概念 。一个拓扑空间是紧致的当 且仅当它的任 意覆盖都有有穷子覆盖；它是豪斯道夫 (hausdorf)空间当且仅 当 它的任意两个不同点都有不相交的邻域 。令 s为紧致的豪斯道夫空间，称 s 在 中有 贝尔性质当且仅 当存在开集 (二) s使得对称差 △0在 s中是贫乏集 (meagerset)。

    定义 2．5(冯琦、麦基道、武丁，1992) 一个实数 的子集 具有通用贝尔性质 当 且仅 当对任意紧致豪斯道夫空间 s，任意连续映射 f：s ，a在 s下的原象 具有 贝尔性质 。

    定义 2．6(武丁，1999) 假设 ac 具有通用贝尔性质， 是 zfc的传递模型 。 称 是强 -封闭的当且仅当对任意 4，如果 4 是传递的且是 m 的脱殊扩张， 贝0 nn ∈n。

    定义 2．7(武丁，1999) 假设 w 是真类。假设 是可数理论， 是语句，则 ti-q 当且仅当存在 ac ：

    1．a是通用贝尔集 ；

    2．对任意可数传递模型 ，若 m 是强 ．封闭的且 t∈m ，则 m }“t n ”。

    定理 2．8(武丁 ，1999) 假设 w 是真类，并且假设 t是可数理论， 是语句，则 对任意完全布尔代数 b， ‘ i-q 当且仅 当 vb}“ti-n盯”。

    定理 2．9(武丁，1999) 假设 w 是真类 。如果 卜q ，则 t 。

    q猜想 假设 w 是真类 。对任意语句 ，}nor当且仅当 卜n 。

    叙述 了什么是 q猜想，我们就可 以回到武丁的回应上了：

    定理2．1o 假设w是真类且q猜想成立，则 在集合va(h(对))中是递归的。

    根绝前面的分析，这实际上是说脱殊多宇宙立场违反 了第一多宇宙定律。而 下面的定理则是说，这一立场同样违反第二多宇宙定律。

    定理 2．11 假设 w 是真类并且 猜想成立，则 在集合 日(酣)中可定义。

    所以，脱殊多宇宙真理观不过是一种更为精致的形式主义 。当然，这种站在 柏拉图主义立场上的挑战要依赖于 q猜想的成立与否 。接下来我们讨论一些更新 的进展，它们似乎在某种意义上暗示这个猜想是真的。

    3 终极 理论

    q猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理 ，而且这个大基数公理超 出了现有 内模型计划 。所谓 “内模型计划”指的是构造一个类似于 l的模型，在 其 中某个大基数公理成立。这项研究计划 的动机源 自于斯科特 (d．scott)的以下 定理 ：

    定理 3．1(斯科特 ，1961) 假设存在一个可测基数，则 v≠l。

    也就是说，哥德尔的 不能容纳可测基数，当然也不能容纳更大的基数 。所 以，这样的问题 自然就被提了出来：

    是否存在一个类似于 的模型 ，它能容纳可测基数或更大的基数

    很快，库能 (k．kunen)证明了

    定理 3．2 能，1970)~ 假设 是 上的 完全的正则非主超滤，则在 i[v1中， k是一个可测基数，并且是唯一的可测基数。

    这实际地开启 了内模型的研究计划，并且在随后 的年代里，这个计划取得了 相当的成功。 目前人们已经能够构造可以容纳强基数的内模型。

    但是，q猜想与 已有的具有 内模型的大基数都是相容 的，所 以要证明它不成 立，我们需要容纳更大无穷的内模型。不唯如此，能证明 q猜想不成立的大基数 公理一定在大基数层谱中处于一个十分关键的位置，这一位置必定会有 “来 自内 模型理论的证据 ”。(参见 【9】

    另一方面，如果 猜想在所有己知的大基数公理下都成立，那就是 猜想在 v中成立的强烈依据。而武丁有关终极 l的研究表明，所有的证据都显示 ，没有 任何 已知的大基数公理会否证 q猜想。我们 以下简述这一重要的思想。 (在 以下 的讨论 中，所有未注明的定理和定义都属于伍丁。)

    如果存在可测基数 ，则 v≠l，所以 l虽然具有很好的结构性质，并且 v=l 可 以解决包括 ch在 内的独立性问题 ，但它不可能是新公理的候选，l与 v相差 太远了。库能的l[u]可以容纳可测基数，在这个意义上比l更接近v。但是，l[v1 中只有一个可测基数，它甚至不能容纳第二个可测基数，更不必说更大的基数 了。 所 以，最终的任务就成 了构造一个可以容纳所有大基数的类 l结构，人们将这样 的结构称为 “终极 l”。这看起来是不能完成的任务，因为在构造容纳大基数的内 模型的过程中，人们发现每向上一步，都只能得到仅仅包含一个相应大基数的模 型，要想容纳所有 的大基数 ，我们有无穷多个内模型需要构造。但是，武丁的一 个重要发现彻底改变了这种情形，这又需要一些新的数学定义：

    定义 3．3 假设 4 是一个 zfc的模型， 是一个超紧基数，如果对任意 ＞ ，存 在 f)一个 一完全的正则精 良超滤 满足 ：

    (1) ()nn ∈ ；

    (2)u nn ∈n ，

    就称 4 是关于 是超紧基数的弱扩张子模型 (weakextendermode1)。

    弱扩张子模型之所 以重要，是因为它有我们需要的性质。首先，它十分接近 v。就我们 目前的问题而言，这意味着它有正确的基数概念。

    定理 3．4 假设 4 是关于 是超紧基数的弱扩张子模型，并且在 4 中， ＞ 是 正则基数，则在 v中，cf()： 。特别地，如果 在 v中依然是基数，则它在 v 中是正则的。

    推论 3．5 假设 4 是关于 是超紧基数 的弱扩张子模型，并且在 v中， ＞ 是 奇异基数，则

    (1) 在 4 中是奇异基数；

    (2)(十)4=7+，即 4 能正确地计算奇异基数的后继 。

    不仅如此 ，与以往 的内模型不同，弱扩张子模型可 以容纳任意多的可测基数。

    推论 3．6 假设 4 是关于 是超紧基数的弱扩张子模型，并且在 v中，k ＞q 是 奇异基数，则 在 4 中是可测基数。

    事实上，弱扩张子模型可以容纳 以上的所有大基数 !

    定理 3．7(普遍性) 假设 4 是关于 是超紧基数的弱扩张子模型，并且在 v中，-i,＞ 是正则基数，并且 丌：(日(+))4-÷(日(7r()+))4

    是一个初等嵌入，并且 crt(~r)＞ ，则 7r∈n。

    也就是说，v中 以上 的大基数都在 4 中保持为 以上的大基数。这不能不说是 一 个令人惊奇的结果。

    但是，弱扩张子模型是否存在呢到 目前为止它只是一个抽象的概念 。但有 一 些数学 “证据 ”暗示其存在。

    定理 3．8f詹森，1974) l或者非常接近 v或者离 v很远 。即以下二者必居其一：

    (1)对任意v中的奇异基数 7，，y在 l中是奇异基数，并且 (7+)l=7+； (l非 常接近 v。)

    (2)每个不可数基数在 l中都是不可达的。(l与 v相差很远 。) 伍丁则得到了关于 hod的类似结果。

    定理 3．9 假设 是可扩张基数，则 hod或者非常接近 v，或者 (在 以上 )离 v很远。即 以下二者必居其一 ：

    (1)对任意 v中的奇异基数 ，y，7在 hod中是奇异基数 ，并且 (，y+)hod=7+；

    (2)所有大于 的正则基数在 hod 中都是 一强可测基数。

    假设存在可扩张基数，则无论哪种情况成立 ，hod中都存在一个可测基数 。 因为如果 (1)成立，则 日dd 是 是超紧基数的弱扩张子模型， 显然是 hod中 的可测基数。而如果 f2)成立，则更是显然 。

    hod猜想 hod接近 v，或者说 ，在 zfc内可以证明：在 hod中，{ 1是正则基数 但不是 ．可测基数 是一个真类。 如果 hod猜想成立，则 hod是一个弱扩张子模型，反之亦然 。

    定理 3．10 假设 是一个可扩张基数 ，则 以下命题等价： 1．hod猜想成立 ； 2．hod是 是超紧基数的弱扩张子模型。

    那么，hod猜想是否成立呢它会不会像 ch本身一样是独立 的呢从 目前 的证据来看，这似乎不可能。因为武丁证 明，hod猜想是脱殊绝对的：如果 hod 猜想在 v中成立，则它在 v的所有脱殊扩张中都成立。所以不可能用力迫法证 明 hod猜想的独立性，而力迫法又几乎是唯一证 明独立性 的手段。

    还有一些支持 hod猜想的证据，目前已经知道的是 以下这点与 zfc一致 ： 和 2在 hod中是 一强可测基数 。但是，我们甚至不知道 hod中是否能够容纳 4个 一强可测的正则基数；也不知道对任意奇异基数 ，y，，y+是否是 hod中的 ．强 可测基数；更不知道是否存在超紧基数以上的 一强可测的正则基数 。

    如果 hod猜想成立 ，则 hod包含了一个弱扩张子模型，而这样的模型可容 纳所有已知的大基数，因此是某种意义上的 “终极 l”模型 。武丁还提 出了这样一 种设想，即，在不知道如何构造 “终极 l”的情况下，我们仍可以叙述公理：“v= 终极 l”。

    v=终极 l公理 公理 “v=终极 l”包括 以下命题：

    (1)存在武丁基数的真类 w；

    (2)对任意 ∑3．语句 ，若 在 v中成立，则存在一个通用贝尔集 a ，使得 hodl(a，豫)n l(a， r)}=： 。

    终极 l猜想 假设 是可扩张基数，则存在模型 4 满足：

    （1)4 是 是超紧基数的弱扩张子模型；

    （2)n h0d；

    （3)4 }=“v = 终极 l”。

    定理 3．11 假设终极 l猜想成立，则：

    1．ch 成立 ：

    2．v ： hod ：

    3．q猜想成立。

    这样，我们可以合理地认为 ，如果终极 l猜想成立，那它一定会在两个方向 上为数学中的柏拉图主义辩护。首先，它证明 q猜想成立，而根据第二节的分析 ， 这从根本上拒绝了多宇宙的真理观。因为，在 猜想成立的情况下，脱殊多宇宙 真就可归结为 日(对)中的真，这本质上与形式主义将真归结为在 zfc中可证是 一 样 的。正如我们 已经指 出的，这种对真理的看法无法说明这样的问题：为何一 些独立性命题是无意义的而另一些不是

    其次，如果终极 l存在 ，那 zfc的众多模型中就有一个非常特殊的。它不仅 可以容纳所有 已知的大基数，而且具有很好的结构性质从而解决所有的 自然 的独 立性 问题。同时，在 “终极 l中为真 ”对于集合力迫又是免疫的，从而不能用通 常的力迫证明其独立性。终极 l的这种特殊性 自然需要哲学上的解释 。武丁 多次 强调 ，这种特殊性源 自它十分接近 v，那个真实的集合论宇宙。除了这种柏拉图 主义的解释，我们暂时看不到任何其他 的哲学立场能够做到这一点。

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    【platonism andtheultim atem odelofsettheory】

    zhaokuanhao

    fudanuniversit

    zkhaofudan．edu．cn

    yueyang

    nationaluniversityofsingapor

    matyangynus．edu．sg

    abstract

    supposev =ultimatel，then thecontinuum hypothesisistrue，allquestionsof settheorycouldbedeterminedby~ iomsofstrong infinity,anditalsoprovidesanax— iom aticfoundationforsettheorywhichisii／lliluoindependencebycohen’sforcing． thus．itwouldbearealizationofg6del’sprogram．m oreover,ifv ：ultim atel istrue， thentherewouldbeam odelofzfc whichisuniquetotheothers，in asense，itisthe universeofzfc．thisfactitselfwouldbeanevidenceshowsthattheuniverseofsets isawelldeterm inedreality,couldberegardedasasupporttothephilosophicalposition ofpiatonism