绝对无限构造补充2
［复复宇宙］
三阶集合实在论
522 复复宇宙公理
正如我在第106页的注释中提到的虽然在hamkins的文章中，他实际上主张的是二阶集合实在论，描绘的是他心目中那个绝对的复宇宙的图景，但他也意识到多宇宙观的拥护者没有特别的理由把自己限制在二阶实在论显然，复宇宙公理，或者说我们对集合论宇宙概念的理解不是完备的推广多宇宙观的对集合论宇宙的看法，我们也可以宣称并没有一个绝对的复宇宙，而是存在很多种不同的复宇宙，满足不同的关于集合论宇宙之间关系的命题这些复宇宙之间又具有一定的关系当然，就像我们还没有完备地理解集合之间的关系、集合论宇宙之间的关系，我们对复宇宙之间关系的了解肯定更加模糊，但我们仍然能模仿集合论公理和集合论复宇宙公理，来试着描述一下二阶复宇宙，即复复宇宙中存在着哪些对象
定义529(复复宇宙公理) 存在一个复宇宙，并且对任意复宇宙m，存在一个复宇宙n以及n中的一个zfc模型n，使得在n看来，m是一个由可数的非良基的zfc模型组成的复宇宙
就像复宇宙公理对复宇宙的描绘，其中的集合论宇宙没有哪个是特别的，对任何集合论宇宙都存在着“更好的”宇宙能看到前者的局限性，复复宇宙公理表达的是每个复宇宙也都不是特别的，并且总存在着“更发达的”复宇宙，在它们看来前者只是一个“玩具”复宇宙
类似定理525，在一个不太强的假设之下，我们同样可以证明复复宇宙公理也是一致的
引理5210 令n是zfc+con(zfc)的模型则n中的复宇宙m从
外面看仍然是一个复宇宙，即
111
m1=(m1,e1)|n=(m,e)∈m
是一个复宇宙
证明 (1)可数化公理，给定111
(m1,e1)∈m1
由n中的可数化公理，存在n f∈n,有
ni(n0,f0)∈m0∧f(n0,f0)≠m0
是可数的
由定义,(n1,f1)∈m1;由(521),(n1,f1)=m 是可数的由注522，我们说m1是n1中的一个可数集合
类似地，我们也有(2)伪良基公理
(3)可实现公理，给定
111、1
(m1,e1)∈m1、a∈m1
以及公式φ(v,v)由n中的可实现公理，存在n∈n，使得
n=n°={x∈m3|(m ,e)=φ[x,a]}
∧(n,e)∈m
∧t(m0,e0)=t(n0,e0)=zfct
所以，我们有
(n1,e1)∈m1;
并且对任意x∈m1n,
x∈n2n=x∈n0
( 522)
n=r(m0,e0)|=φ[x,a]
(m1,e1)=φ[x,a]
可得 n1 = {x ∈ m1 | (m1,e1)|=φ[x,a]} 是模型m3中参数可定义的类：又由(
11
521),(m1,e1)=(n,e)=zfc,
因此我们说(m1,e1)认为(n3,e1)是一个zfc模型
(4)力迫扩张公理，给定模型 m3∈m1, 公式φ和参数a∈m3,φ(x,a)在m3中定义了一个偏序p1，由n中的力迫扩张公理，存在n中的ng°，使得
n=n∈m∧g是p上的m脱殊滤 ∧n=m3[g ]
首先，我们有： n1∈m1
其次，我们希望 g1={x∈n|n|x∈g}是p1上的m1脱殊滤容易证明，g1是p1上的滤，现任给d∈m1，使得 d1= {x ∈m1 |
m1=x∈d}是p1的稠密子集则m1=d是p上的稠密子集因而 n=pm|=d 是p上的稠密子集，由于n认为g°脱殊，故n=d1n=1
x∈m1|m≠x∈dng≠0
即存在
x∈n,n=x∈g
且ne
[m0]=x∈d07
(即m1|=x∈d) 因此 g&39;nd1≠0
最后，我们证明 n2=m2[g1]由定理2216,我们只需证明m3n3,g∈n1,并且n3所有元素,都是从g和m1中参数可定义的 m3n2、g∈n3, 由 n=m n 及nfg°∈n 可得,现任给x∈n3, 即 n = x ∈ n 由
n=n=m[g],
存在公式v及参数b∈m1使得
n=n=y(ψ(y,b,g)∧x=y)
因而 n3 |=!y(v(y,b,g ) ∧x=y)
(5)嵌入回溯公理给定模型
m11∈m1,
公式φ142和参数
a,b∈m12,
假设
m1l认为:“j(其中j11={x∈m11|m11|=φ1[x,a]}
是从自身到模型
m20={x∈m11|m11|=φ2[x,b]}
的∑o初等嵌入”我们把引号中的公式(集)记为v[a，b]则
m11=[a,b],
由(521),
n|f|tm10|=ψ[a,b]1
再由注523,n认为j确实是初等嵌入，由n中的回溯嵌入公理，存在n中
m00
以及参数a,b,使得
n=m00∈m0∧a0,b0∈m00∧rm00=ψ[a0,b0]1
∧j00(a0)=a∧j00(b0)=b∧m10
{x∈m00|m00+φ2[x,b0]}
其中，j是模型
m0θ
中由公式φ1和参数a定义的
我们有，
m01∈m1;
类似(522),
m11={x∈m01|m01|≡φ2[x,b0]},
是模型m01中参数定义的类：
在m01看来，
j01={x∈m01|m01|=φ1[x,a0]}
是从自身到m12的初等嵌入，即
m01=ψ[a0,b0];
并且 j(a)=a j(b)=b,从而j01(j01)=j11
定理5211(主定理) 假设存在一个不可达基数k令
m=ccsmnr(zfc+con(zfc))是vk
中所有可数的可计算饱和的zfc+con(zfc)模型组成的集合 则
mm={ccsmn(zfc)|n∈m}
是由复宇宙组成的集合，且满足复复宇宙公理
证明 首先，由于k是不可达基数，那么vn是zfc的模型，由向下的lwenheim-skolem定理,存在一个zfc的可数模型(w r)显然,该模型也在v中,因此,v也是zfc+con(zfc)的模型,类似地,我们可以迭代任意有穷次，如
v=zfc+con(zfc+con(zfc))
又由可计算饱和模型存在定理(参见[3，112])，∥非空
对任意n∈,∥,n是zfc+con(zfc)的模型由定理
525,ccsmn(zfc)的复宇宙，由于可计算饱和模型都是非良基的，在n看来，
ccsmn(zfc)中的模型都是非良基的，由引理5210，从外面看，
ccsmn(zfc)也确实是复宇宙
现在我们只需要证明存在一个 m m中的一个复宇宙，而n是其中的一个元素
对任意
n∈m,vn=Γn=zfc+th(n)t
因而，
tn=zfc+{con(zfc+Γ)|Γ是th(n)的有穷子集}是一致的由之前的分析，
vn|=con(tn)
在v中应用引理528，存在m∈ m，在m看来n是一个可数的可计算饱和的zfc模型，即n是复宇宙
ccsmm(zfc)中的元素
从复宇宙公理以及复复宇宙公理的一致性证明中，我们看到，zfc、复宇宙公理、复复宇宙公理在一致性强度上形成一个递增关系虽然它们在一致性强度上的增加幅度很有限，事实上复复宇宙公理的一致性强度要低于存在一个不可达基数但我们有理由期望，随着我们对集合论模型间关系的进一步理解，随着我们开发出新的构造集合论模型以及集合论复宇宙的方法，我们可以补强复宇宙公理和复复宇宙公理，更进一步，我们可以期望有任意n阶甚至o阶的复宇宙公理，它们也许能提供类似大基数公理那样的一致性强度的层级结构
事实上，无论是复宇宙公理还是复复宇宙公理所描绘的集合论宇宙或复宇宙之间的关系，与哥德尔的“之集合”(set of)运算的直观都非常接近复宇宙是
来合论宇宙的集合，而复复宇宙是复宇宙的集合而且它们所要表达的，即所有的集合论宇宙都被“更好的”集合论宇宙看作是一个“玩具”模型，所有的复字宙都被“更发达的”复宇宙看作是一个“玩具”复宇宙，无非是在说这个宇宙，无论把它称作集合的宇宙还是包含集合和集合的宇宙的宇宙或是别的名称，是极大丰富的这与zfc中的存在性公理乃至大基数公理背后的直观是一致的如果，我们仅把zfc所保证存在的对象称作集合，那么不可达基数可能就不是一个集合不可达基数公理的意义在于断定宇宙中存在不可达基数这样一种对象至于是否把它称作集合，并不重要从大基数的这个特质可以看出大基数公理的“高阶”本质某个大基数公理说“性质p°不足以描述宇宙之大”，这本身是描述宇宙之大的性质，我们称作p1，而更大的大基数又说“p1不足以描述宇宙之大”如此不断扩展
同理，复宇宙公理断定宇宙中存在很多集合论宇宙这样的对象即认为现有的集合论公理对这个抽象世界的看法，只看到了其中的一个很小的部分，即某个集合论宇宙，把这些集合论宇宙当作不同于普通集合的二阶对象还是就把它们看作普通集合，并不重要重要的是，我们可以很自然地想象由一个集合论宇宙和一个普通集合组成的对集：一些满足特定性质的集合论宇宙和普通集合换句话说，我们可以将取子集、并集、幂集、投射等集合运算运用于集合论宇宙和普通集合之上，并且不产生矛盾；如同我们可以将这些运算运用于有穷集合和w之上，从而构造出各种各样的无穷集合，抑或运用于“可达的”集合和不可达基数之上从而构造出各种“不可达的”对象一样因此，各种集合论宇宙的存在并不妨碍我们假设我们在探索一个客观的宇宙正如传统实在论对大基数公理的理解，对复宇宙的丰富性的描述也可以理解为是在陈述这个客观宇宙的丰富性
哥德尔在[19]的脚注18中谈到一种可能的获取新公理的途径非常类似复宇宙公理或复复宇宙公理这种源于关于集合的“高阶”概念的直观的公理表达
类似地，“集合的性质” (集合论的第二个主要术语)的概念给出关于它的公理的扩展，更进一步，“集合的性质的性质”的概念等等，也可以被引入，由此而来的这些新公理，他们后承中那些关于集合的有界域的命题(如连续统假设)[也应]包含在关于集合的公理中(至少就我们现在所知)
即使一些多宇宙观的拥护者坚持认为存在一个绝对客观的复宇宙，即关于集合论宇宙有一个客观的概念，或是认为存在一个绝对的复复宇宙甚至更高阶的复宇宙我们仍然可以期望，这个绝对的复宇宙并上其中的集合论宇宙中的集合组成的宇宙与传统集合实在论所设想的那个绝对的集合论宇宙最终是一样的，这种期望似乎是无矛盾的，事实上，如果
m=ccsmv(zfc)
并且v=con(zfc)那么muum=v因此，主张绝对客观的复宇宙和主张绝对客观的集合论宇宙并没有本质的冲突。
总之，如果多宇宙观的拥护者所强调的是那些集合论宇宙也拥有和普通集合一样的实在性，那么无论他们是否进一步主张更高阶宇宙的实在性，他们的观点和传统集合实在论的观点都是相容的下一节中，我将论证，如果多宇宙观强调的是我们对集合概念的理解可以是多种多样的，不存在一种正确的理解，那么这种观点在数学实践上与形式主义并无二致
［v-logic］
1v逻辑多重宇宙（the v -logic multiverse〈“集合论多重宇宙”的概念在关于集合论基础的争论中出现并逐渐得到重视。到目前为止，已经提出了几个集合论多重宇宙的概念，所有这些概念都有优点和缺点。hamkins的广义多重宇宙([4])，由集合论公理集合的所有模型组成，在哲学上是稳健的，但在数学上是不吸引人的，因为它可能不能满足集合论的基本要求。steel的集泛多重宇宙([5])由公理zfc+large cardinals的所有布尔值模型vb组成，在数学上是非常有吸引力和丰富的，但过于局限。特别是，它不能捕获所有可能的外部模型，只关注集合泛型扩展。最后，sy friedman的超宇宙概念([2])，虽然在数学上是多才多艺的，并且具有基础性的吸引力，但其主要缺点是假设v是可数的。在本文中，我们引入了集合论多重宇宙的一个新概念，即“v-logic多重宇宙”，它扩展了在超无量纲程序([1]，[3])中进行的数学工作，但也利用了集合广义多重宇宙的特征，特别是steel提出的对它的公理化。v-逻辑是一种无限逻辑(一种允许公式和无限长度证明的逻辑)，其语言lk+，w，除了一阶逻辑中已经使用的符号之外，还包括k-多个常数a，每个常数a∈v。在v-逻辑中，当且仅当m是v的外部模型时，可以保证某些模型m满足关于zfc+ψ的一致性的陈述，对于某些集合论陈述ψ，当且仅当m是v的外部模型。通过集合强制、类强制、超类强制以及通常任何能够产生v的宽度扩展的模型理论技术获得的模型。因此，通过选择合适的一致性声明，我们可以生成具有特定特征的外部模型m。v逻辑多元宇宙正是v的所有这些外部模型的集合。）
2steel的计划：证据框架、核心和终极-l（steel’s programme: evidential framework, the core and ultimate- l〈我们利用steel的多元宇宙公理\mathf{mv}和“核心假设”，来确定集合论的“首选”宇宙和扩展\mathf{zfc}的最佳公理。在第一部分中，我们考察了\mathf{mv}的证据框架，特别是大基数和通过强制“表示”\mathf{zfc}的可选扩展而获得的“世界”的使用。在第二部分中，我们讨论了\mathf{mv}_t(其中t是\mathf{zfc}+large cardinals)核的存在性和可能的特征。在最后一部分，我们讨论了核是ultimate-l的假设，并基于这一事实检验了core universist是否以及如何证明v=ultimate-l是\mathf{zfc}的最佳(和最终)扩展。为此，我们考虑了几种策略，并根据\mathf{mv}的证据框架评估了它们的前景。〉）
3多元宇宙上的麦蒂（maddy on the multiverse）佩内洛普·马迪(penelope maddy)最近谈到了集合论多重宇宙，并对其地位和优点表示了保留(maddy，《集合论基础》，收录于：caicedo et al(eds)《数学基础》。《纪念休·伍丁60岁诞辰的论文集》，《当代数学》，美国数学学会，普罗维登斯出版社，第2页。本文的目的是利用集合论自然主义的解释框架来考察她的担忧。我首先区分了“多元主义”的三种主要形式，然后继续分析麦蒂的关注。除其他事项外，我考虑了多元宇宙相关数学的突出方面，特别是集合论中的研究项目，其中多元宇宙的使用似乎是至关重要的，并展示了如何根据对“多元宇宙实践”的仔细分析，对maddy的关注做出回应。4多元宇宙理论中柏拉图主义的消解（abolishing platonism in multiverse theories）至少在过去二十年中，数学基础中争论的一个问题是，通过依赖于除单个集合论宇宙之外的多个集合论宇宙的存在，是否可以合理地论证处理不可判定的数学问题(例如，连续体假设(ch))的优点，即，与集合的累积层次相关联的众所周知的集合理论宇宙v。多重宇宙的方法有一些不同版本的多重宇宙的一般概念，但我的意图是主要解决本体论的多重宇宙，例如，hamkins或vtnen所提倡的，正是因为他们宣称，在一个或另一个程度上，本体论的关注，以引入各自的多重宇宙理论。同时，考虑到woodin和steel的多元宇宙版本，我提出了一个反对多元宇宙论的论点，并在一定程度上反对数学基础中的柏拉图主义，主要是基于主观基础，同时关注clarke-doane对benacerraf挑战的关注。我注意到，尽管这篇论文是在反对多元论的技术上构建起来的，但不可忽视的哲学部分在一定程度上受到了现象学观点的影响。11集合论的点态可定义模型pointwise definable models of set theory逐点可定义模型是指其中每个对象都可定义，而 在集合论的模型中，这个性质加强了v=hod，但是 不是一阶可表达的。然而，如果zfc是一致的，那么 连续化zfc的多个逐点可定义模型。如果有传递式 zfc模型，则存在连续体多个逐点可定义传递 此外，zfc的每个可数模型都有一个类强制 可逐点定义的扩展。 本文认为，godel-bernay集合论的每个可数模型都有一个逐点的 可定义扩展，其中每个集合和类都是一阶可定义的 没有参数。12多重宇宙公理的自然模型（a natural model of the multiverse axioms）如果zfc是一致的，那么可计数的集合可计算地饱和 zfc模型满足hamkins提出的所有多重宇宙公理。13接地公理与v=hod一致（the ground axiom is consistent with v= hod）基础公理认为，宇宙不是任何内部模型的非平凡集强迫扩展。尽管这个断言具有明显的二阶性质，但它在集合论中是一阶可表达的。以往已知的ground axiom模型都满足v=hod的强形式。在本文中，我们证明了ground公理与v=hod是相对一致的，事实上，zfc的每个模型都有一个类强制扩张，即zfc+ga+v=hod的模型。该方法适用于大基数：例如，每个具有超紧基数的zfc模型都有一个类强制扩展，其中zfc+ga+v=hod保留了超紧基数。由hamkins和reitz[rei06，rei，ham05]引入的ground axiom是集合论的宇宙不是任何内部模型的非平凡的集强迫扩展的断言。即，groundaxiom断言，如果w是宇宙v的内部模型，且g对于非平凡强迫是w-generic，则w[g]=v。例如，在可构造宇宙l中，在模型l[0]中，在可测基数的内部模型l[μ]中，在大多数情况下，在核心模型k中以及在集合论的许多其它正则模型中。然而，令人惊讶的是，ground axiom并不在所有的正则内部模型中成立，因为schindler已经观察到一个woodin基数的最小模型m1是其迭代之一的强制扩展(也见下面的定理4)。尽管groundaxiom断言具有初步的二阶性质--毕竟，它量化了宇宙的所有内部模型--groundaxiom实际上是集合论语言中的一阶表达。reitz[rei06，rei]证明了这一点，并在woodin的文章附录[woo]中独立地隐含了这一点。这些论点分别依赖于laver[lav]最近的工作，利用hamkins[ham03]的方法，以及woodin[woo]的独立工作，证明了集合论w的任何模型在其所有集强制扩张w[g]中都是一阶可定义为一类的。使用w中的参数。由于定义是统一的，因此可以通过量化在该定义中使用的可能参数来有效地量化v的可能地面模型。reitz[rei06，rei]识别参数的一阶属性，从而允许其成功地定义地面模型。当然，在任何非平凡集强制之后，ground公理失败，reitz观察到它在某些非平凡类强制迭代之后仍然可以成立。例如，mcaloon[mca71]和其他人很久以前就展示了如何强制2000数学主题分类的强版本。03e35、03e45、03e55。关键词和短语，强迫，基性公理，序数可定义性，v=hod我们注意到本文作者组成了三代数学：reitz是hamkins的研究生，reitz是woodin的研究生。14l上强迫souslin树改变自同构塔的高度（changing the heights of automorphism towers by forcing with souslin trees over l）我们证明了在可构造宇宙中存在群，群的自同构塔通过强迫是高度可延展的。这是这样一个事实的结果，即在合适的菱形假设下，存在足够多的高刚性非同构souslin树，其同构关系可以通过强制精确控制。15集合论真理的证据hyperuniverse计划（evidencefor set-theoretic truth and thehyperuniverse programme）。8在广义多元宇宙中上下移动（moving up and down in the generic multiverse）我们简要介绍了一般多元宇宙的模态逻辑。 是一个双模态逻辑，运算符与关系“是一个强制”相对应。 “and”的扩展是“and”的基础模型。 被称为强迫的模态逻辑，我们在早期的工作中研究过。这 第二种关系的片断被称为理由和意志的模态逻辑 这是第一次在这里学习。另外，我们讨论了哪些组合 的模态逻辑对于这两个片段是可能的。9集合论的每一个可数模型都嵌入到它自己的可构造性中 宇宙（every countable model of set theory embeds into its own constructible universe）本文的主要定理是集合论的每一个可数模型 m，包括每个有良好基础的模型，同构于它自己的子模型 换句话说，有一个嵌入的j:m\到lm 对于无量词的断言是基本的。证明使用通用有向图。 组合数学，包括可数随机有向图的非循环版本， 我称之为可数随机q阶有向图和更高的类似物 作为不可数的fraisse极限产生，导致催眠有向图， 集合齐次、类通用、超实数分级的非循环类有向图， 与超现实数字紧密相连。证明表明lm包含 一个子模型，它是秩为ordm的泛无环有向图。 证明了集合论的可数模型是线性的 按嵌入性预先排序：对于集合论的任意两个可数模型， 它们中的一个同构于另一个的子模型。 由嵌入性在有序类型中精确\w_1+1预先良好有序。 具体来说，可数的有良好基础的模型按嵌入性排序 根据序数的高度；每个较短的模型嵌入 每一个更高的模型；集合论m的每一个模型对所有的都是通用的 秩至多ordm的可数有依据二元关系，且 集合论的病态模型对所有可数的非循环二进制是普遍的 最后，加强ressayre的一个经典定理，同样 证明方法表明，如果m是pa的任意非标准模型，则每个 集合论的可数模型--特别是zfc的每个模型--是 同构于m的遗传有限集hfm的子模式。确实， hfm对于所有可数的非循环二元关系是通用的。10集合论多重宇宙（the set-theoretic multiverse）集合论中的多元宇宙观，在这篇文章中被介绍和论证， 是这样一种观点：集合有许多不同的概念，每个概念都在 一个相应的集合论宇宙。相反，宇宙观认为 有一个绝对背景集概念，有一个相应的绝对背景集 集合论宇宙，其中每个集合论问题都有一个确定的 回答。多元宇宙的立场，我认为，解释了我们的经验与 集合论可能性的巨大多样性，这一现象对 宇宙观，特别是，我认为连续体假说 通过我们对多元宇宙行为的广泛了解，确定了多元宇宙的观点 在多元宇宙中，因此它不能再以 以前希望的。
［玄宇宙种的高度反射］
sharp/不可辨认生成-真理反射：
例子：0＃存在下的l,可测vk的无穷迭代
形式：
1强化feferman宇宙链：
若v的高度至少是不可达基数，则有初等链：
vk1→vk2→vk3→→v∞，其中任意i,j∈v∞，都有vki→vkj，并且对于任意i∈∞，都有vki→v∞
2强不可辨认性
更一般的，对于任意两个n-元组(wi1,wi2,wi3)，(wj1,wj2,wj3)，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3＜in)，(j1＜j2＜j3＜jn)，都有(wj1,wj2,wj3)和(wi1,wi2,wi3)满足相同的，带wi1nwj1中参数的一阶句子
3高阶不可辨认性：
借鉴亚紧致基数的模式，对于任意位于初等链上的秩ki，kj，用h(ki+)v与h(kj+)v满足相同的一阶语句来模拟vki与vkj满足相同的二阶语句，考虑带参数的情况，由于ki在h(ki+)中的最大基数地位在h(kj+)中不再保持，正确的带参形式应该是如下的形式：
h(ki+)满足φ(ki)当且仅当h(kj+)满足kj，且存在非平凡初等嵌入j：h(ki+)→h(kj+)，且j(ki)＝kj
高阶不可辨认性在如下意义上得到了“外宇宙链”的支持：
从h(ki+a)到h(kj+a)的嵌入不需要在v中，只需要在“真宇宙”中存在即可
4高阶强不可辨认链：
考虑两个由诸宇宙组成并允许高阶参数的结构：
wi＝＜h(ki0+α),h(ki1+α),h(ki2+α)＞，
wj＝＜h(kj0+α),h(kj1+α),h(kj2+α)＞，以及任意两个n元递增序列(i1＜i2＜i3＜in)，(j1＜j2＜j3＜jn)，总有非平凡初等嵌入j:wi→wj，且可以带任意通过初等嵌入“对应”的参数
也即是，wi和wj满足相同的一阶句子，这等价于两个由宇宙组成的结构满足相同的α阶句子，且带任意通过初等嵌入得到的参数
考虑将语言扩展到更高阶的情况，若语言允许将h(k+α)视为参数，则得到由宇宙间聚合组成的二重聚合结构之间的正确链，同理，这样的反射可以像任意阶扩展
不可辨认反射中介更少，更直接，并且支持宇宙间关系反射，注意到超宇宙反射需要以on为中介进行多次反射才能将宇宙内的k发送到外宇宙序数Ω，而不可辨认/sharp反射允许将任意有限参数，以及宇宙本身作为参数的句子φ(v,x1,x2xn)反射回v中，得到形如φ(vk,x1,x2,x3xn)←→φ(v,x1,x2xn)的反射结果，也即，存在非平凡初等嵌入(这个嵌入不需要在v中或v中)j:v→v，cr(j)＝k，且j(k)＝k，任意x∈v，都有j(x)＝x
5不可辨认生成
称宇宙v是不可辨认生成的，当且仅当：
1有一个长度为 on 的连续序列 k0＜k1＜ ，使得 kon=on ，并且有换元初等嵌入 πi,j:v→v ，其中 πi,j 有临界点 ki 且 π(ki)＝kj
2对于任何 i≤j ，v的任何元素在v中都可以被 πi,j 值域中的元素和 {k:i≤＜j} 内的元素一阶定义
6＃-生成
称一个结构(n,u)是一个sharp，当且仅当：
1n是一个弱zfc模型(zfc-pow，替换公理可以换成收集公理)，且存在最大基数k，且k是一个强不可达基数——允许存在这样一种情况，对于任意α＜k，p(α)∈n，但是对k本身则有p(k)n
2(n,u)是amenable的，即x∈n蕴含xnu∈n
3u是k上的一个normal超滤，对于任意退行函数f:k→k，f(α)＜α，存在β＜k，使得{α:f(α)＝β}∈u
4n是可迭代的，并且任意从(n,u)出发的迭代超幂都是良基的(n自己当然也是)，它们构成一条无界长的迭代链：
(n,u)→(n1,u1)→(n2,u2)→
对于任意i，j，i＜j，有πij(ni)＝nj,πij(ui)＝uj
虽然这样的初等嵌入会被宇宙识别为Σ1初等嵌入，但是在宇宙外可以归纳证明其为初等嵌入，证明的核心思想为：
取j:ni→nj为Σ1初等嵌入，对于任意Σ1语句φ，nj满足任意x，φ(x)，则存在vαnj，任意x∈vαnj，φ(x)，由于j为共终嵌入，因此存在β∈ni，j(β)＞α，选取对应的β，使得nj满足，任意x∈vj(β)nj，φ(x)，则由于有界量词句子的复杂度为△0，mi也满足任意x，φ(x)
称宇宙v为＃生成的，当且仅当存在一条长度为v的高度的迭代链：(n,u)→(n1,u1)→(n2,u2)→，且v等于vkini(i∈∞)的联合
可以知道，这两个定义是等价的
7simh＃+lca
1强＃-最大化
称宇宙v为强＃-最大化，当且仅当：
·v是＃-生成的
·对于任意＃-生成的v的外模型v,若一个带有参数w1,w2的句子在v的一个尊重参数的内模型上成立，则它也会在v的一个内模型上成立
2称v满足simh＃，当且仅当v是强＃-最大化的
3+lca
如果存在无界多武丁基数和在此之上的一个不可达基数，则对于语句φ，若φ被vk(k为可测基数)满足，则存在一个传递模型同时满足simh＃+φ
具体建构为：取(h(k+),u)为n0，则由于k为可测基数，n0为一个sharp，将n0迭代到足够的高度，得到wf(n∞)＝m，使得m包含见证simh＃成立的a，同时，由于vk∞是初等链的联合，vk与vk∞共同满足φ
sharp以自己的方式容纳了任意强的大基数公理
8(缝合怪)Ω-simh＃+lca
1Ω-simh
假设存在一个给超紧基数的弱扩张内模型(简称终极内模型，lΩ)
对于任意带参数(w1,w2)的一阶命题φ，若φ在v的某个尊重参数的外模型中成立，则它也在v中的某个终极内模型lΩ(φ)中成立
2Ω＃
正如l是不可辨认生成的等价于0＃存在等价于存在l到l的非平凡自嵌入。我们不妨假设对于任意终极内模型lΩ()，lΩ()是不可辨认生成的当且仅当存在lΩ()的非平凡初等自嵌入。这似乎暗示了某种Ω＃的存在，也即暗示了v＝lΩ的失败，但正如＃-生成可以与v＝l共存一般——只要那个见证v≠终极l的初等嵌入在v之外。我们可以设想存在任意多个满足v＝lΩ()的宇宙v，它们都可以通过某个sharp迭代到足够多步之外，以至于最终得到的zfc模型m满足simh＃，这样得到的m可以称为(由lΩ()生成的)终极v。
正如终极l的非唯一性，如此生成的终极v也是不唯一的。
［zfc集合论］
(1) 外延公理（容积公理）：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等的。
(2)分离公理模式：“对任意集合x和任意对x的元素有定义的逻辑谓词p(z)，存在集合y，使z∈y 当且仅当z∈x而且p(z)为真”也就是说：若x是一个集合，那么可以断定，y={x∈x|p（x）}也是一个集合。
(3)配对公理：对任意a和b是对象，则存在一个集合{a，b}，其仅有的元素是a和b。也就是说：我们可以用一个集合z={x,y}来表示任给的两个集合x,y，称之为x与y的无序对。
(4)并集公理：任给一族m，存在um（称为m的并）它的元素恰好为m中所含元素的元素。也就是说：我们可以把族m的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。
(5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合x，存在集合p（x），它的元素恰好就是x的一切子集。也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。
(6)无穷公理：存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素x，x+=xu{x}也是其元素）也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。
(7)替换公理模式（置换公理）：也就是说，对于任意的函数f（x），对于任意的集合t，当x属于t时，f（x）都有定义（zf中唯一的对象是集合，所以f（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=f（x）。也就是说，由f（x）所定义的函数的定义域在t中的时候，那么它的值域可限定在s中。
(8)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使xny为空集。”以上8条公理组成了zf公理系统，再加上选择公理，则组成了zfc公理系统
(9)选择公理：也叫策梅洛公理，对于任意两两不交的集合族，存在集合c，使对所给的族中的每个集合x，集合x与c的交恰好只含一个元素
以上为zf集合论中的各种公理
集合{}符号
给定任何集合a和任何集合b，a=b，当且仅当【给定任何集合中的元素x，x∈a当且仅当x∈b。】（这里的x是集合不是本质性的，但在zf中所有东西都是集合
集合1 ＝ { 集合2，集合3, }
例如 s ＝ { { }, {{ }}, {{ },{{ }}} }
zf里只有空集和嵌套空集 其它集合均为各种空集的编号
a={}=1 b={{}}={1}=2 c={{},{{}}}={1,2}=3
s={1,2,3}={,{},{{}}}
∈符号
集合s∈集合t
a∈b a属于b 集合a是集合b中的一个元素/子集
其它符号如u，，＝……之类，由上面2个原始符号用公理推导出
zfc集合论公理
【1】外延公理：
ab(t(t∈at∈b)→a＝b )
构建等号 ＝
（t属于a 当且仅当 t属于b） 所以 a＝b
t在a中绑定t在b中，则a和b的元素相同
【2】空集存在公理：
sa(as)
s＝ 构建空集
对于所有可能的a a全都不属于是，s存在
所以r只能是空集
【3】无序对集存在公理：
abst(t∈s(t=avt=b))
构建不超过二元的无序集
( 存在s 以t为元素 ) 当且仅当当 ( t是a或者b )
t在s里面，且a，b只能二选一 s当然只有2个元素
其中 s={a,b} 二元集合
一元：a=b时 s={a}
拿到上面新做好的空集
假设1 a=b=，s1={a}={}
假设2 a=，b= s1={}，s2={a,b}={,{}}
重复假设1可得无数个一元集合 {}，{{}}，{{{}}}
重复假设2可得无数个二元集合 {,{,{}}}，{{,{}},{}}
【4】并集存在公理：
abx(x∈by(x∈y∧y∈a))
构建u符号
存在b以x为元素当且仅当存在y 以x为元素并且y属于a
a的元素的元素是x，单独考察某个a。对于某ab和y是有些区别，y被y∈a所限制，y的个数＝某a的元素个数y1～yn每个y对应一些元素x，而b没有被限制。无论假设几个b，b的元素都是一样的。所以b是唯一的，b的元素是所有x
例如 y1={x1,x2} y2={x3,x4}
a={y1,y2}={ {x1,x2},{x3,x4} }
所以b={x1,x2,x3,x4}
写法∶广义并：b＝ua，b＝u{y1,y2}，常规并：b＝y1uy2
建造完u，就可以用之前的二元集合来创建二元以上的多元集合{x1,x2,x3,x4}
【5】子集公理｜分离公理模式：
asx(x∈sx∈a∧p(x))
用关系公式p表示集合，存在s以x为元素，当且仅当x属于a并且x满足p条件 ，x是a中所有满足p条件的元素 由于是充要推导 所以x也都属于s，s是a的子集 用p条件从a里分离出来
如此得到新的集合表示方法 r＝｛x：p(x)∧（x∈a）｝，a可以是任意集合
x∈a可以隐含在p(x)里 r＝｛x：p(x)｝
例如交集，并集的定义
｛x：x∈d ∧x∈c ｝＝ cnd
｛x：x∈d vx∈c ｝＝ cud
【6】幂集公理：
apb(b∈pt(t∈b→t∈a))
构建幂集，(存在p 以b为元素) 当且仅当 ( b是a的子集 )
后半部 t( t∈b → t∈a ) 是子集的定义
对于所有t，（t属于b 一定有 t属于a） 所以b是a的子集 同ba
将a的所有子集b1～bn装进p里，这个p称做a的幂集
p＝ powerset（a）＝｛b：ba｝
例如｛2，3｝的幂集 ｛ ，｛2｝，｛3｝，｛2，3｝ ｝
a的各元素t自由组合成子集，n个元素集合的幂集有2的n次幂个元素
【7】无穷公理：
s（∈s∧x（x∈s→（xu｛x｝）∈s））
可以用来构建自然数
存在某s（s中至少有空集）并且（x属于s 一定有 x和｛x｝的并集也属于s）
用元素x来递归创造无数元的集合s，（xu｛x｝）称为x的后继x＋
x属于s，则x的后继也属于s，每个x都会对应一长串后继，这种s也叫归纳集
不是任何元素后继的元素就是初始元素
假设s中的初始非后继元素只有一个 这种s＝w 称做最小归纳集
那么就是起始元素 0＝ 1＝ u｛｝＝｛｝
2＝｛｝u｛｛｝｝＝｛，｛｝｝
3＝｛，｛｝｝u｛｛，｛｝｝｝＝｛，｛｝，｛，｛｝｝｝
这个w可以用来象征自然数集合｛0，1，2，3．．．．｝
3为2的后继 4为3的后继 ．．．．
【8】替换公理模式：
x!y p(x,y) → mnb（b∈na（a∈m∧p(a,b)））
可以用p规则将a映射／替换为b
如果p为函数 则→(存在n以b为元素 当且仅当 (存在a使 a属于m 且 满足p(a,b)))
函数p在m限制下 p的定义域domp被m缩小 因为p的参数a只能在m中取值了 不再x。被缩小后的函数记做(p↑m) 函数(p↑m)的值域ran(p↑m) 称做p在m下的象
ran(p↑m)＝{b:a(a∈m∧p(a,b))}＝n
公理声明：任意给定的集合m和函数p p在m下的象一定存在且形成一集合n
前半部是对函数的筛选 !y表示只存在一个y
x!y p(x,y) 等价于 xy（ p（x,y）∧t（p（x,t）→t＝y））
关系 p（x,t）对于某x 所有的t都只能等于y，t只有唯一对应。这样的关系 p（x,y） 叫做p函数。p关系与p函数的区别：每个参数x只对应出一个y，p为函数。每个参数x可对应出多个y，p为关系，关系大于且包括函数概念。
【9】正则公理：
s（a（a∈s）→ a（a∈s∧t（t∈a→ts）））
可以用来去除一些无限套娃类的写法
（对所有非空集合s 存在元素a）一定会→（存在元素a 而且 a与s交集为空）
后半部 t（t∈a→ts）等价于交集为空
对任意t元素 t属于a 一定有 t不属于s 所以a和s无共同元素 ans＝
前半部a有声明a元素存在，说明只讨论s不是空集的情况。也就是∶正则公理要求。非空s中要存在某元素与s自身交集为空。a称为s中的∈极小元，∈关系是良基的。极小元要求a只可以属于s中的其它元素 但不可以把s中的元素拿来给自己当元素。所以a和s无共同元素，ans＝，这样就保证a是s中这些∈关系链的最底层，不会出现无限循环嵌套的情况。例如 s＝｛s｝＝｛｛s｝｝，x∈y∈z∈x 之类的写法都和公理冲突
【10】选择公理：
x(a( a∈x→a≠)→f( fun(f)∧a( a∈x→f(a)∈a)))
创造选择函数
(a在x中 一定致 a不为空)则→((存在 f为函数)且(x中的a 一定使 f(a)是a的元素))
fun(f)是一个函数判断模块，当f是函数时 fun(f)=真;f不是函数时，fun(f)=假。x是一个由非空集合组成的集合 a是x中某个非空集。f(a)称做选择函数 f(a)可以选取a中的某个元素。选择公理宣称 对于非空集的选择函数一定存在。通常一个无限的，元素没有识别特征的集合 靠枚举和特征公式都选不出元素来，只能随机选取一个 但数学是用严格的逻辑和演绎来搭建的，无法产生真正的随机，所以这个公理假装随机是存在的。这个公理不是公理模式和替换公理不同 所以模块fun(f)的内部结构会复杂一些。
fun(f)t(t∈f → (mn(t=＜m,n＞) ∧ m(m∈dom(f)→!n(＜m,n＞∈f)) ))
t满足f 则→( (存在有序对＜m,n＞=t)并且(对任意f定义域中的m→只有1个值n满足f))
一个定义域中的m只对应一个值域中的n 正是函数的定义
其中f的定义域 dom(f)模块的内部结构:
dom(f){ m: n(＜m,n＞∈f) } 另外值域ran(f){ n: m(＜m,n＞∈f) }
＜m,n＞ ＜x,y＞之类表示有序对 有序对也是亠种特殊的集合 元素之间有顺序
＜m,n＞ ≠ ＜n,m＞ 而无序对 {m,n}＝{n,m}
有序对可以转化为普通集合的写法: ＜m,n＞＝{{m},{m,n}}
其中一个元素是另一个元素的子集 这样两个元素的先后顺序就被记录下来了
另外函数f和关系f也都是一种集合 f是一种以有序对为元素的集合
例如 f＝｛＜x1,y1＞, ＜x2,y4＞, ＜x3,y1＞, ＜x4,y2＞｝
f中记录了每个x与y的映射关系
x1～xn 全在定义域集合domf中
y1～ym 全在值域集合ranf中
f(x)是求f中x的对应值 f(x)=y
公理中的＜m,n＞∈f写法 就表示m和n是满足f的一对组合
［Ω-logic］
因为用v无法直接证明绝对无限本身的存在，因此需要用Ω逻辑来证明。Ω逻辑本身便是康托尔绝对无限的证明，它比不可达基数绝对无限v更能够直接证明康托尔绝对无限。虽然v是无上限的，但是他无法直接证明绝对无限，而因为Ω逻辑本身就是绝对无限所以它可以直接证明。Ω逻辑超越了zfc公理，可以更直接的证明绝对无限。因为Ω表示的就是绝对无限所以Ω逻辑就是绝对无限逻辑，而绝对无限逻辑可以达到绝对无限，可以进一步证明绝对无限的存在。Ω可以直接证明绝对无限本身，无限的概念在Ω上被直接的证明，也就接触到了绝对无限概念本身。
这个概念不要与w-逻辑混淆，在集合论中，Ω逻辑是whugh woodin（1999）提出的一个无限逻辑和演绎系统，作为推广点类的确定性理论以覆盖结构h_。正如射影确定性公理产生了｛\displaystyle h_｛\aleph_｛1｝｝h_｝的正则理论一样，他试图找到能给出更大结构的正则理论的公理。他提出的理论涉及一个有争议的论点，即连续体假说是错误的。
woodin的Ω-猜想断言，如果存在一类适当的woodin基数（由于技术原因，理论中的大多数结果在这个假设下最容易陈述），那么Ω-逻辑满足完备性定理的类似。从这个猜想可以看出，如果有任何一个公理在Ω逻辑中是全面的，那么它必然意味着连续体不是。woodin还孤立了一个特定的公理，即martin最大值的变体，该公理指出任何Ω-一致的｛\displaystyle\pi_｛2｝｝\pi_{2｝（在｛\ddisplaystyleh_；这个公理意味着连续体是｛\displaystyle\aleph｛2｝｝\aleph｝。
woodin还将他的Ω猜想与一个提出的大基数的抽象定义联系起来：他认为“大基数性质”是序数的｛\displaystyle\sigma\｛2｝｝\sigma_｛2}性质｛\ddisplaystyle p（\alpha）｝p（\alpha），这意味着α是一个强不可访问的，并且在小于α的基数集的强迫下是不变的。那么Ω-猜想意味着，如果有任意大的模型包含一个大基数，这个事实在Ω-逻辑中是可证明的。
该理论涉及Ω有效性的定义：如果一个语句在t的每个模型中都成立，则它是集合论t的Ω有效结果，该模型的形式为｛\displaystyle v_｛\alpha｝｛\mathbb｛b｝｝｝｝v_。这个概念在强迫下是明显保留的，并且在存在一类适当的woodin基数的情况下，它在强迫下也是不变的（换句话说，Ω-可满足性在强迫下也保留）。还有一个Ω-可证明性的概念；[1] 这里的“证明”由普遍的baire集组成，并通过验证对于该理论的每个可数传递模型和模型中的每个强迫概念，该模型的一般扩展（如在v中计算的）包含“证明”来检验，该“证明”限制了其自身的实性。对于证明集a，这里要检查的条件称为“a-闭合”。复杂度测度可以通过它们在wadge层次中的秩在证明上给出。woodin证明了“可证明性”的概念意味着v上的｛\displaystyle\pi_｛2｝｝\pi_{2｝｝句子的Ω有效性。Ω猜想表明该结果的逆命题也成立。在目前已知的所有核心模型中，它都是真实的；此外，大基数的一致性强度对应于“证明”基数存在所需的最小证明秩。