冯诺依曼代数简介及其转变（二）：代数转变和引力
通常的ads/cft模型中，场论需要取大n极限。
考虑cft中的一个single trace 算符， 它的k点函数满足 o(n2k)o(n{2-k}) ，因此取大n极限的话只有两点函数不为0。同时如果要想让single trace算符具有合理的大n极限， 我们可以定义一个减除过后的single trace算符
w=trwtrw\mathcal{w}=tr w-\langle tr w\rangle
此时因为在大n极限下只有两点函数会出现，因此算符构成了一个自由场论。
考虑所有互相之间具有非零的对易子的算符，可以组成代数 al,0,ar,0\mathcal{a}_{l,0}, \mathcal{a}_{r,0}, 它是定义在边界上的 根据对偶关系，有
al,0=al,0ar,0=ar,0\mathcal{a}_{l,0}=\mathcal{a}_{l,0} \mathcal{a}_{r,0}=a_{r,0}
因此边界上的single trace算符组成的代数等价于bulk中黑洞视界外的场论组成的代数。
那么这个代数属于哪种冯诺依曼代数呢？
通常对于一个热场二重态
|tfd=∑ieβei/2|eil|eir|tfd\rangle=\sum_{i}e{-\beta e_{i}/2}|e_{i}\rangle_{l}|e_{i}\rangle_{r}
它可以全息的描述一个永恒黑洞，不过此时需要注意的是，形成这个tfd的参数 β\beta 描述的是左侧或者右侧黑洞的温度，而在ads时空中，存在霍金佩奇相变，因此温度需要大于hawking-page温度这个描述才是成立的。
t＞tpaget＞t_{page}
而在page温度以下，时空处于ads真空态。对于真空态，大n极限可以良好的定义，因此通常可以认为代数在大n下满足von-neumann i∞i_{\infty} ，而当温度大于page温度之后，其大n极限不能被良好的定义，表现在能量，熵等都会发散。（实际上这个大n极限的定义问题，对于理解高维的引力ensemble对偶具有重要意义） 表现在代数上，意味着此时在大n极限下，von-neumann代数会变成type iii1\mathrm{iii_{1}} 的 同时tfd态的希尔伯特空间不再左右可分，上面关于tfd态的写法不再成立。这一点可以通过全息也能看出，根据全息，我们可以在黑洞背景下构造hilbert空间，此时这个希尔伯特空间就是弯曲时空下量子场的希尔伯特空间，因此它必然是type iii\mathrm{iii} 型的代数。
以上在取大n极限之后，演生出了一个type iii1\mathrm{iii_{1}} 的von-neumann代数。可以考虑是否可以将这个代数加入一些其他的元素，使其扩充为一个更大的代数。一个自然的想法是加入边界的哈密顿量，考虑减除后的哈密顿量
hr′=hrhrh_{r}&39;=h_{r}-\langle h_{r}\rangle
因为 hr′2～n2\langle h_{r}&39;{2}\rangle \sim n{2} , 这个哈密顿量依然没有大n极限。为了定义它在大n极限下表现良好，可以定义
u=1nhr′u=\frac{1}{n}h_{r}&39; , 在大n下u不为0也不发散，因此具有良好的大n极限。而对于 v∈ar,0\mathcal{v} \in \mathcal{a}_{r,0} ,有如下关系
[u,v]=1n[hr,v]=invt[u,\mathcal{v}]=\frac{1}{n}[h_{r},\mathcal{v}]=-\frac{i}{n} \frac{\partial \mathcal{v}}{\partial t}
取 n→∞n \to \infty ,我们发现 [u,v]→0[u,\mathcal{v}] \to 0 , 因此u是 ar,0\mathcal{a}_{r,0} 这个代数的center。并且因为u和其他算符都对易，不满足 ar,0\mathcal{a}_{r,0} 中的元素要求，所以扩充后的代数结构为 ar=ar,0au\mathcal{a}_{r}=\mathcal{a}_{r,0} \otimes \mathcal{a}_{u} 作用的空间为 htfdl2(r)\mathcal{h}_{tfd}\otimes l{2}(r) 此时的代数依然是type iii\mathrm{iii} 的，但是因为它具有了一个非平庸的center，因此不再是一个factor。 一个代数是factor的定义是它只有平庸（为常数）的center。
有趣的事情发生下 1/n1/n 阶，此时根据对易关系
[hr′/n,a]=(i/n)ta[h_{r}&39;/n,a]=(-i/n)\partial_{t}a ，此时因为考虑 o(1/n)o(1/n) 的修正，所以哈密顿量不能简单的认同为u，而是也要考虑修正，好在此时的修正可以很容易的获得
1nhr′=u+1βnh\frac{1}{n}h_{r}&39;=u+\frac{1}{\beta n} \hat{h}
其中 h\hat{h} 是modular hamiltonian， 它的定义如下
h=∫sdΣνvμtμν\hat{h}=\int_{s} d\sigma{\nu}v{\mu} t_{\mu\nu}
它具有简单的边界对偶，因此也可以作为边界上的算符。
因此考虑原来的算符集合，加入 u+h/βnu+\hat{h}/\beta n 算符之后的修正，此时因为这个算符与原算符 ar,0\mathcal{a}_{r,0} 不再对易，因此不会形成一个直积的结构, 实际上 u+h/βnu+\hat{h}/\beta n 产生的是一个外自同态（outer automorphism) 的结构，所以实际上代数为 ar=ar,0au+h/βn\mathcal{a}_{r}=\mathcal{a}_{r,0} \rtimes \mathcal{a}_{u+\hat{h}/\beta n}
外自同态(outer automorphism)的定义如下：
考虑一个 h\mathcal{h} 上的算符t， 如果 a∈a,s∈r\forall a \in \mathcal{a}, \quad s \in r , 都有
eitsaeits∈ae{it s}a e{-it s} \in \mathcal{a}
再考虑一个扩充的希尔伯特空间 hl2(r)\mathcal{h} \otimes l{2}(r) ,此时有一个更大的代数 ar\mathcal{a} \rtimes r ，它的生成元为 a1,eisteisxa \otimes 1, e{is t}\otimes e{is x} 或者是 aeisteisxae{is t} \otimes e{is x}
当t属于 a\mathcal{a} 的时候，生成的自同态叫做inner的，而当 tt 不属于 a\mathcal{a} 的时候，生成的自同态是outer的。
如果这个自同态结构是通过 h\hat{h} 形成的，那么此时这个r叫做模自同态群，可以看出加入边界哈密顿量之后的single trace算符的代数结构就是上面讨论的这种数学构造。
一个数学定理说的是： 对于一个type iii1iii_{1} 的factor，它和其外模自同态群（outer automorhphism）形成的代数结构 ar=ar,0au+h/βn\mathcal{a}_{r}=\mathcal{a}_{r,0} \rtimes \mathcal{a}_{u+\hat{h}/\beta n} 是一个type ii∞\mathrm{ii}_{\infty} 的von neumann代数。 它也是一个factor。
type ii的代数和type iii的代数的一个重要不同在于，type ii代数具有求迹的结构，而type iii代数没有。因此当代数转变为type ii的时候，可以自然的定义一个子区域的求迹，进而定义密度矩阵和纠缠熵。
下面来探索，此时定义的求迹的表达式的形式：
考虑扩充的希尔伯特空间中的态 Ψ=Ψg1/2(x)\hat{\psi}=\psi\otimes g{1/2}(x) , 其中 Ψ\psi 是关于代数 ar,0\mathcal{a}_{r,0} 的一个cyclic-seperating的态，因为 g1/2g{1/2} 是恒正的，因此 Ψ\hat{\psi} 也是一个cyclic-seperating的态。
对于 ar,0\mathcal{a}_{r,0} 有一个modular 算符 ΔΨ\delta_{\psi} , 满足如下的关系
Ψ|ab|Ψ=Ψ|bΔΨa|Ψ\langle \psi|ab|\psi\rangle=\langle \psi|b \delta_{\psi}a |\psi\rangle
证明比较简单
Ψ|bΔΨa|Ψ=Ψ|bsΨsΨa|Ψ=bΨ|sΨ|sΨaΨ=aΨ|sΨ|bΨ=Ψ|ab|Ψ\langle \psi|b \delta_{\psi}a |\psi\rangle=\langle \psi| b s{\dagger}_{\psi} s_{\psi} a|\psi \rangle =\langle b{\dagger}\psi|s_{\psi}{\dagger}|s_{\psi}a\psi\rangle=\langle a{\dagger}\psi|s_{\psi}|b{\dagger}\psi\rangle=\langle \psi|ab|\psi\rangle
其中用到了modular 算符的表达式 ΔΨ=sΨsΨ\delta _{\psi}=s_{\psi}{\dagger}s_{\psi} , 以及 sΨs_{\psi} 是一个反线性算符。
如果定义 au=eihΨuaeihΨua_{u}=e{i\hat{h}_{\psi} u} a e{-i \hat{h}_{\psi} u} , 那么也可以得到kms关系 Ψ|aub|Ψ=Ψ|bau+i|Ψ\langle \psi|a_{u}b|\psi\rangle=\langle \psi|b a_{u+i}|\psi\rangle
而对于扩充代数，此时它也应该具有一个相应的modular算符 ΔΨ\hat{\delta}_{\hat{\psi}}
Ψ|ab|Ψ=Ψ|bΔΨa|Ψ\langle \hat{\psi}|\hat{a}\hat{b}|\hat{\psi}\rangle=\langle \hat{\psi}|\hat{b}\hat{\delta}_{\hat{\psi}}\hat{a}|\hat{\psi}\rangle , 此时 a,b∈ar,0ahΨ+x\hat{a}, \hat{b} \in \mathcal{a_{r,0}}\rtimes \mathcal{a}_{\hat{h}_{\psi}+x} , 记 x=βnux=\beta n u
因为此时 a=aeis(hΨ+x)\hat{a}=a e{is (\hat{h}_{\psi}+x)} ,容易验证扩充后的modular算符的表达式为
ΔΨ=ΔΨg(hΨ+x)g(x)1\hat{\delta}_{\hat{\psi}}=\delta_{\psi} g(\hat{h}_{\psi}+x) g(x){-1}
这个公式意味着它可以拆分为两部分 ΔΨ=k~k\hat{\delta}_{\hat{\psi}}=\tilde{k}k
k=Δexg(hΨ+x),k~=exg(x)k=\delta e{-x} g(\hat{h}_{\psi}+x), \quad \tilde{k}=\frac{e{x}}{g(x)}
有了以上的准备工作，可以给出对于 ar\mathcal{a} \rtimes r 上的算符 a\hat{a} 的trace
tra=Ψ|ak1|Ψtr \hat{a}=\langle \hat{\psi}|\hat{a}k{-1} |\hat{\psi}\rangle
可以验证它确实满足trace的定义
trab=Ψ|abk1|Ψ=Ψ|bk1ΔΨa|Ψ=Ψ|bk1ΔΨaΔΨ1|Ψtr\hat{a}\hat{b} =\langle \hat{\psi}|\hat{a}\hat{b} k{-1}|\hat{\psi}\rangle=\langle \hat{\psi}|\hat{b}k{-1}\hat{\delta}_{\hat{\psi}}\hat{a}|\hat{\psi}\rangle=\langle \hat{\psi}|\hat{b}k{-1}\hat{\delta}_{\hat{\psi}}\hat{a} \hat{\delta}_{\hat{\psi}}{-1}|\hat{\psi}\rangle
带入 ΔΨ=k~k\hat{\delta}_{\hat{\psi}}=\tilde{k}k ,就可以知道
tr(ab)=Ψ|bak1|Ψ=tr(ba)tr(\hat{a}\hat{b})=\langle \hat{\psi}|\hat{b}\hat{a}k{-1}|\hat{\psi}\rangle=tr(\hat{b}\hat{a})
这里用到了 k~\tilde{k} 和a对易。
利用 ΔΨΨ=Ψ,hΨ|Ψ=0\delta_{\psi}\psi=\psi, \quad \hat{h}_{\psi}|\psi\rangle=0 , 求迹操作的定义可以写为如下简单的形式
tr(a)=Ψ|aexg(x)|Ψ=∫∞∞dxexΨ|a|Ψtr(\hat{a})=\langle \hat{\psi}|\hat{a}\frac{e{x}}{g(x)}|\hat{\psi}\rangle=\int_{-\infty}{\infty} dx e{x}\langle \psi|\hat{a}|\psi\rangle
有了trace的定义，就可以讨论密度矩阵的定义，对于一个属于hilbert空间的态 |Φ∈h|\phi\rangle \in \mathcal{h} , 可以定义 p∈a\rho \in \mathcal{a}
Φ|a|Φ=tr(pa)\langle \phi| a |\phi\rangle=tr(\rho a)
由以上定义可以看出，对于cyclic seperating的态 |Ψ|\hat{\psi}\rangle ,密度矩阵就是 k 得到密度矩阵之后，自然也可以考虑子区域的纠缠熵
s(p)=tr(plogp)s(\rho)=-tr(\rho log \rho)