冯诺依曼代数简介及其转变（一）：冯诺依曼代数的构造及分类

    关于黑洞热力学，一个里程碑式的进展是关于黑洞的贝肯斯坦熵的发现，即黑洞熵正比于其视界面的面积

    s=a4gns=\frac{a}{4g_{n}}

    这是经典下的黑洞熵，考虑半经典的情况，会出现bulk时空中量子场的纠缠熵修正，整体是一个广义熵

    sgen=a4gn+smatters_{gen}=\frac{a}{4g_{n}}+s_{matter}

    通常，广义熵中的这两项都是发散的，但是物质场纠缠熵的发散可以和面积部分的牛顿常数的发散相互抵消，最终广义熵是一个uv finite的量。

    同时描述加速膨胀宇宙的de-sitter时空，也和黑洞具有十分类似的结构，它也具有事件视界，同时也可以给这个事件视界定义温度和熵之类的热力学变量。

    关于de-sitter宇宙和黑洞的相似性，可以见笔者的回答

    普遍理论认为，宇宙大爆炸的模型是从奇点开始，那么与黑洞模型是否有相似之处？80 赞同 · 15 评论回答

    这方面的研究一个自然的问题是是否存在一个更加清晰的阐述，能够说明为什么物质场的熵是发散的，而广义熵则是有限的，当然这个问题从重整化的角度有一些说明，然而最近witten和penington等人，通过代数的角度，给了这个问题一个更加清晰而深刻的理解。简单介绍一下这方面的进展，打算分为三部分介绍，首先在本文中做一些基础的铺垫，介绍一下冯诺依曼代数的构造及分类。

    关于更为基础的代数量子场论的知识，（例如什么是对于一个代数cyclic 和seperating的态），请见本专栏的内容

    代数量子场论简单介绍 zhuanlanzhihu 2020-12-20 12:30 reeh-schlieder定理： 考虑一个时空中的场 \phi(x{\mu}) ,可以以此定义 \phi_{f}=\int d{d}x f(x,t) \phi(x,t) 将这些算符作用于真空态上会形成希尔伯特空间 |\psi_{f}\rangle=\phi_{f_{1}} \phi_{f_{2}}\phi_{f_{n}}|\omega\rangle 通常要求这些算符是定义在整个流形m上产生的态才是稠密（dense）的。 而 reeh-schlieder是说即使把这些算符 \phi 的支集限制在一个很小的区域u中，也可 以产生同样的希尔伯特空间，也是稠密的。即 \phi_{x_{1}} \phi_{x_{2}}\phi_{x_{n}}|\omega\rangle, x_{1}x_{n} \in u 证明稠密的意思则是我们无法找到一个态 |\chi\rangle 和其正交，除非这个 |\chi\rangle 是一个null state。 定义函数 \langle \chi |\phi(x_{1})\phi(x_{2})\phi(x_{n})|\omega\rangle ，沿着一 个类时的方向做变换 x_{n} \to x_{n}+ut ，得到函数 g(u)=\langle \chi|\phi(x_{1})\phi(x_{2})exp(ihu)\phi(x_{n})|\omega\rangle 我们利用了 h|\omega \rangle=0  我们先考虑u很小，以至于这个变换仍然在u内，所以g(u)=0 因为h正定，g(u)在u的复平面的上半平面是一个解析的函数。因此g(u)可以做 泰勒展开，并且只要存在一段上它是0,这个泰勒展开就是严格为0的，因此保证了 g(u)在任何u的值的时候都是0 所以函数 \langle \chi |\phi(x_{1})\phi(x_{2})\phi(x_{n}+ut)|\omega\rangle=0 对 于任意的u都恒成立。，然后可以继续进行这个操作，因为流形m上的任何一点， 都可以通过u上的点和类时的矢量往未来或者过去演化得到（想象zigzag的形 状）。然后对于x1,x2都重复xn的操作，所以虽然开始限制了x点的取值在u内，但 其实根据上面的叙述，这个限制是可以去掉的。这就是reeh-schlieder定理的证 明。 reeh-schilieder定理有一个简单的推论： 考虑两个类空的区域u，v，如果b算符在v内，假设 b\omega=0 ，那么再考虑u内的算符a。 我们有[a,b]=0 b(a\omega)=ab\omega=0 因为 a\omega 是稠密的，所以b=0。 这样如果本身 b\neq0 ，那么就存在矛 盾。所以假设不对，因此得到 b\omega \neq 0  a和b的角色是对称的，所以也能推得 a\omega \neq 0  这个推论下给出两个定义，对于u区域，有一个算子代数 \mathcal{a}_{u} ,然 后 如果 a \omega, a \in \mathcal{a}_{u} 是稠密的，那么我们说 |\omega\rangle这个态对于算子代数是cyclic的。 对于不等于0的 a \in \mathcal{a}_{u} ,如果 a|\omega\rangle \neq 0 就说 这个态对于算子代数是separating的 reeh-schlieder定理和它的推论给出了真空态是一个cyclic separating的矢 量。 tomita takasaki 理论和modular hamiltonian： 定义冯诺伊曼代数 \mathcal{a} 和它的互补 \mathcal{a}&39; 起点是tomita算子，即一个反线性的算符 s_{\omega}: \mathcal{h} \to \mathcal{h} s_{\omega}o |\omega\rangle=o{\dagger}|\omega\rangle s_{\omega} 是一个态依赖的算子，并且需要依赖于真空态的cyclicseparating的性质。通过定义易得 s{2}=1 , s|\omega\rangle=|\omega\rangle ，同时定义 s{\dagger} 定 义在代数 \mathcal{a}&39; 上。 如果s是可逆的，那么就有如下唯一的分解 s=j\delta{1/2} , \delta 是modular算子， j 是一个反幺正的算符叫做 modular conjugation。 \delta =s{\dagger}s ,著名的modular hamiltonian就是通过这个算子得出 的， \delta=e{-k}  真空态算符在这些作用下都是不变的 j|\omega\rangle=\delta|\omega\rangle=|\omega\rangle tomita-takasaki理论的核心是说,冯诺伊曼代数按照modular变换不变： \delta{it} \mathcal{a}\delta{-it}=\mathcal{a} 同时modular conjugation诱导出这样一个变化 jaj=a&39; tomita-takasaki理论是能够推导relative entropy的单调性的一种很直接的方 法，因此也就能够比较直观的证明纠缠熵的强次可加性。同时，这种通过j对于算符 的构造，比如 o&39;=joj 还可以应用到构造黑洞内部的算符的过程中。 最后看一下最简单的情况下modular hamiltonian怎么写，通常来说， modular hamiltonian作为非局域算符是非常难以计算的。 在rindler时空下，在假设希尔伯特空间可以factorize的时候， \mathcal{h}=\mathcal{h}_{l} \otimes \mathcal{h}_{r} modular算符 \delta=\rho_{r} \otimes \rho_{l}{-1} 因为态可以通过欧式路径积分来表达，这时在做了欧式转动之后，密度矩阵元 由boost算子给出 所以 \delta_{\omega}=exp(-2\pi k_{r})exp(2\pi k_{l})=exp(-2\pi k

    以上基础对于本文较为重要。

    首先简单介绍一下von-neumann代数的分类，von-neumann代数可以分为3类

    最简单的一类是type i 的von-neumann代数，通常的量子力学系统满足的是这一类代数。 作用于希尔伯特空间k上的所有有界算子（bounded operator）组成type i的von-neumann代数。根据希尔伯特空间k的维数决定不同的冯诺依曼代数。例如如果k是有限维的，那么代数属于type idi_{d} , 如果k是无穷维的，那么代数属于type i∞i_{\infty}  type i的冯诺依曼代数可以定义一个线性函数： a→traa \to tr a

    满足交换性和非负性

    tr(ab)=tr(ba),tr(aa)0fora≠0tr(ab)=tr(ba), \quad tr(a{\dagger}a) \geqslant 0 \quad for \quad a \neq 0

    因此它是求迹运算，例如对应于有限维，可以把算符写成矩阵，求迹就是通常大家所熟悉的矩阵求迹。

    通常考虑无穷维的情况，数学上可以构造更多非平庸的冯诺依曼代数。

    首先来构造type ii的代数，考虑如下的最大纠缠的epr态

    12(|↑|↑+|↓|↓)\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\rangle|\uparrow\rangle+|\downarrow\rangle |\downarrow\rangle)

    一个简单的等价操作是不妨将其中一个变为左矢量空间，使得epr态可以写为（省略了归一化因子 12\frac{1}{\sqrt{2}} )

    （，）（，）(10)（1，0）+(01)（0，1）=(1001)\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) （1，0）+\left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) （0，1）=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 &1 \end{array} \right)

    因此一个纠缠对可以通过一个22的矩阵来描述，作为一个基本的矢量空间。

    其内积的定义为 v,w=trvw\langle v{\dagger} ,w\rangle=tr v{\dagger}w , 再讨论其上的算符，算符有两种，分别是从左作用到线性空间上和从右作用到线性空间上， m2,m2′m_{2},m_{2}&39; , a∈m2,v→av,a′∈m2′,v→va′tra \in m_{2}, v \to av, \quad a&39;\in m_{2}&39;, v\to v a&39;{tr} , 其中tr表示转置。m和m‘相互对易。

    更为清楚的表示是，v可以写成 v=ww′v=w \otimes w&39; ， m作用于w空间，而m‘作用于w‘空间。 由上面的例子可以看出，对于最大纠缠的两体态，可以写为 i2′=i2/2i_{2}&39;=i_{2}/\sqrt{2} , 其中i是恒等矩阵，当然也可以写出更一般的矩阵，对应不同的两体纠缠，它们都对应v空间的态。

    我们可以利用这个基本的矢量空间，构造无穷维的张量积结构

    v1v2vk∈v[1]v[2]v[k]v_{1}\otimes v_{2} \otimes \otimes v_{k} \in v{[1]} \otimes v{[2]}\otimes v{[k]}

    考虑其中除了有限个之外，其他的 vkv_{k} 都等于 i2′i_{2}&39;

    此时因为这个截断，我们可以定义希尔伯特空间的内积 v,w=trv(n)w(n)\langle v,\omega\rangle=tr v_{(n)}{\dagger}w_{(n)}

    注意到我们这里对于态空间做了一个限制，这个态空间的限制会导致作用在其上的算符也有一个限制。

    对于相应的算符

    a=a1a2ana=a_{1}\otimes a_{2}\otimes a_{n} \otimes

    也是必须要根据态空间的限制进行指定，即只有除了有限n个算符之外，其他 aa 都是恒等算符的时候，才是合理的算符空间。以上算符a（ a0\mathcal{a}_{0} ) 还不足以生成一个算符空间，因为它并不是闭（closed）的，要让其闭合，需要引入极限要求算符可以收敛，最后算符空间的定义为

    a:h→h,ax=limn→∞a(n)xforx∈ha: \mathcal{h} \to \mathcal{h}, a\chi=lim_{n \to \infty} a_{(n)} \chi \quad for \quad \chi \in \mathcal{h}

    当然我们也可以定义相应的a&39;空间，它们组成的互补代数 a,a′\mathcal{a},\mathcal{a&39;} 互相同构。 定义关于 a\mathcal{a} 和 a′\mathcal{a}&39; 代数是cyclic和seperating的态。

    Ψ=i2′i2′i2′∈h\psi=i_{2}&39; \otimes i_{2}&39;\otimes i_{2}&39;\in \mathcal{h}

    一个自然的线性函数是

    f(a)=Ψ|a|Ψf(a)=\langle \psi|a |\psi\rangle

    可以看出这个函数给出了求迹的定义，来验证一下

    首先因为 |Ψ|\psi\rangle 是seperating的，所以对于非零的a， a|Ψ≠0a|\psi\rangle \neq 0 ,所以首先 f(aa)0f (a{\dagger}a) \geqslant 0

    而对于两个算符a，b,

    f(ab)=trm2[1]m2[k]a1b1a2b2akbk=f(ba)f(ab)=tr_{m_{2}{[1]} \otimesm_{2}{[k]}}a_{1}b_{1} \otimes a_{2}b_{2}\otimes a_{k}b_{k}=f(ba)

    因此满足这个交换性，（我们注意到实际上定义完von-neumann代数之后，cyclic seperating态的结构在这个交换性上产生了重要作用）。 因为以上性质，这个线性函数定义了求迹的运算，相应的von-neumann代数被称为type ii的，而能否定义求迹运算，实际上构成了type ii和type iii代数的最终区别。

    下面介绍type iii的代数：

    type iii的von-neumann代数则是性质最差的，此时不仅无法定义子区域的希尔伯特空间，甚至求迹操作都没法良好定义。相比于前两个，它也是更为一般的von-neumann代数。 考虑一般的两体纠缠，此时不是最大纠缠，可以把描述两体纠缠的矩阵写作

    k2,λ=1(1+λ)1/2diag(1,λ1/2)k_{2,\lambda}=\frac{1}{(1+\lambda){1/2}} \mathrm{diag}(1,\lambda{1/2}) , diag表示对角矩阵。

    此时构造type iii的方法就是把构造type ii时的所有 i2′i_{2}&39; 换为 k2,λk_{2,\lambda}

    同时要求态除了有限个之外，其他的 vnv_{n} 都等于 k2,λk_{2,\lambda}  根据态空间的结构，也可以类似的构造其上的算符，先定义 a0\mathcal{a_{0}} ,然后再采取相同的步骤利用极限保证代数闭合，因此定义的代数是 aλ\mathcal{a}_{\lambda} , 因为定义代数闭合的时候需要利用希尔伯特空间，因此 aλ≠aa_{\lambda}\neq \mathcal{a} ，因此会得到和type ii不同的代数结构。对于相应的代数，此时的cyclic seperating态为

    Ψ=k2,λk2,λk2,λ\psi=k_{2,\lambda} \otimes k_{2,\lambda}\otimes k_{2,\lambda}

    可以很自然的去进行验证，此时 f(a)=Ψ|a|Ψf(a)=\langle \psi|a|\psi\rangle 定义给出的线性函数不满足 f(ab)=f(ba)f(ab)=f(ba) ，因此代数不再有一个合理的求迹的定义。

    对于 λ≠λ′\lambda \neq \lambda&39; 时，通常 aλ,aλ′\mathcal{a}_{\lambda}, \mathcal{a}_{\lambda&39;} 不是同构的。以上的构造也可以进行推广，即我们可以取不同的 k2,λk_{2,\lambda}

    此时就有一个数列的 {λ1,λ2,λn}\{\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{n}\} , 如果以上的数列收敛于一个特定的 λ\lambda ,那么得到的代数和之前说的一致，叫做 typeiiiλtype iii_{\lambda}

    而如果以上数列并不收敛，而是至少在两个值之间震荡的话，那么就可以得到type iii1iii_{1} 代数。

    以上我们就介绍完了三种冯诺依曼代数的构造，而通常的量子场论，它的代数都是type iii的，实际上对于量子场论我们没办法像量子力学一样去讨论态的纠缠，因为此时希尔伯特空间不再具有直积的结构，因此不可以通过求迹得到子区域的密度矩阵。这也就是通常对于量子场论子区域纠缠熵发散的原因。

    之前的研究通常都是取截断来正规化这个发散，但是这样就会将代数改变为type i的，进而再进行讨论，这样会不可避免的失去一些本质的信息。而通过代数的研究可以发现，量子场论中universal的子区域纠缠熵发散，并不是态的性质，而是von-neumann代数的结构导致的。此时如果讨论 a,a′\mathcal{a},\mathcal{a}&39; 的纠缠我们会发现因为type iii代数的结构导致纠缠熵实际上没法良好定义，这是发散的本质。