第19章 有请程老师
这第一问程雨桐很流畅的完成了，没有什么中途停顿的地方，思路很清晰。
“嗯，思路还可以，你站到旁边去吧。”黄诗语说道。虽然刚刚说要让程雨桐做完，但她心里还是有一个大概的心理预期的。
“那老师，我如果做出来第二问，是不是就不用被罚站了？”此时心中已经有了些想法的程雨桐自然是不愿意放弃这出风头的机会，直接开口道。
出风头是一说，罚站可真是累人的，还要在黄诗语身边接受大家目光的监视，还是尽量不要的好。
“哦？你想要挑战一下？那好吧，看在我人美心善的份儿上就勉为其难的同意你了，希望你可别让我失望哦。”黄诗语随意轻笑，和大家一起期待地看着程雨桐接下来的动作。
有几个班里平时数学成绩比较好的同学也都陆陆续续做完了第一小问，算出正确结果还是可以的，但第二小题可就有难度了，不一会儿就全军覆没了。在考试有限的时间内做出这种题目既要求质量也要求速度，如果在这道题目上耗费了超过二十分钟的时间，哪怕最后是做出来了也难免会影响到其他题目的发挥，从而影响到整体的成绩。压轴题得到的分数和简单题目得到的分数一起构成了最后的总成绩。
这种难度的题目放在程雨桐他们班，尤其是在大家都还没有进行过系统复习的情况下来做，真是有点难度的。
不过，这并不影响程雨桐的发挥，很快他便根据几道书中见过的例题找到了一些破题之处，翻了一页新的白板开始写起了第二小问的答案。
“f(x)=ln(1-x),xf(x)＜0
1当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0,
xf(x)＜0;
2当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0,xf(x)＜0
所以要证明g(x)＜1,即证明x+f(x)＞xf(x),
即x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0
令1-x=t(t＞0且t≠1),
则x=1-t,
即证明1-t+lnt-(1-t)＞0,
令q(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,
q’(t)=-1+1/t-[(-1)lnt+1-t/t]
=-1+1/t+lnt-1-t/t=lnt,
则q(t)在(0,1)上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
则q(t)＞q(1)=0,
得证”
最后，整个题目下来可以说是行云流水，理科尖子班的那几个尖子生估计最多也就是这个速度了，这让大家，包括黄诗语在内都有些不可想象的意味。
这道题是一道证明题，不像那些有明显答案的题目一样，对了就是对了，错了就是错了，证明题是个人都能写出最后的结果。
证明题的关键是证明的过程，程雨桐写完自己的推理过程之后，大家都在看着程雨桐写的过程，自己在下面验算当中。
而黄诗语当然不用这么做，在程雨桐写到一半多的时候就已经基本看出来程雨桐是把这道题给做对了。
“好了，大家停一下吧，程雨桐同学这道题做的完全正确，那么让我们先暂时从解析几何的疲惫当中走出来，看一道导数题放松一下吧，这节课间我就不下了。就有请程老师给大家讲解一下他的做题思路以及的大致方法和过程。”
黄诗语喜鹊般清脆的声音带来了一个算不上好的休息。
难道这也算休息吗？
那消逝的下课时间不才是真正的休息么？
真的是比万恶的资本家还黑。
虽然但是，大家只能表现出毫无怨言的样子，继续探究数学世界的奥秘。
在大家强烈的求知欲当中，程雨桐简单说明了一下自己具体的做题思路。
“其实，这道题主要考察的是导数的计算和导数在研究函数中应用。首先是第一小问，根据x=0是函数y=xf(x)的极值点可知，当x=0时，y’=0,然后进行求解就好了。再验证a=1时，函数y=xf(x)在x=0处取得最大值即可。
第二小问相比于第一问有些难度，我们要认真分析一下题目所给的信息。题干中设函数f（x）=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。第二小问的问题是设函数g（x）=x+f（x）/xf（x），让我们去证明证明g（x）＜1。
刚才第一问做出的答案a=1在第二问中可以直接使用，变成了一个已知条件。
在分析题目过后，我们可以发现因为x＜1且x≠0时，xf(x)＜0,所以证明x+f(x)＞xf(x)即可，所以我们就要证明x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0,令1-x=t,再构建一个新函数求极值即可得证。”
程雨桐一边说着自己的思路，一边指着自己写下的步骤，自己觉得很清新明了但看大家却是一头雾水的样子。这会儿程雨桐有点在考虑自己是不是应该往下讲了。
在简单思考了三秒过后，面对迷茫的大家程雨桐还是想要试图给大家解释清楚。这次黄诗语没有打断程雨桐，在一旁若有所思地看着程雨桐写下的解题步骤。
“嗯……除此之外，我们还可以用一种切线放缩的方法来做这道题目。具体的步骤会与刚才讲解的有所不同，大家可以选择一种适合自己的解题方法。
第一问a=1的条件依旧继续沿用，我们由题意可知，x应该小于1且x不等于0
当x ＜ 0时，f(x) = ln(1x) ＞ 0;
当0 ＜ x ＜ 1时，f(x) = ln(1x) ＜ 0
所以g(x)＜1
x+f(x)＞xf(x)
(1-x)ln(1-x)＞-x
ln(1-x)＞-x/1-x=1-1/1-x
-ln1/1-x＞1-1/1-x
ln1/1-x＜1/1-x-1
再令t=1/1-x,t的范围是大于零且不等于一，于是
g(x)＜1
lnt＜t-1
而当t＞0且t≠1时，lnt＜t-1是我们熟知的，因此结论证明成立。如果想要严格证明的话，还是按照之前所讲到的，构造函数求导就好了。”
就如程雨桐所预期的，这一连串的讲述下来，大家的cpu估计都快要炸掉了。然后一脸无辜的看向黄诗语，示意自己已经讲完了所有的内容。
不仅把题目的正确答案解了出来，而且还拓展了一种新思路，这新学期数学课被叫到黑板上可以说是首战告捷啊。
嗯，讲得不错，下次不要再讲了……
台下一篇沉默，很显然，都没怎么听懂程雨桐说了些什么玩意。这时候就轮到黄诗语出场了。
“嗯，程雨桐同学做的很不错，还用到了切线放缩的方法，假期应该是有努力学习了。你先下去吧，这次就算你蒙混过关，但以后上课的时候一定要认真听讲哦。”
黄诗语难得的笑了一次，清秀的可不输现在的高中生啊。你说也是，本来笑起来这么好看，非得天天拉下脸来，装成一副灭绝师太的样子，这是何苦呢。