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本文常用量级绝对无穷部分构造2(部分基数)

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    阿列夫不动点

    对于一个给定的函数,存在一个元素使得该元素在经过函数作用后仍然等于它自身

    假设有一个函数 f:x → x,当且仅当x 是一个非空集合。我们定义一个集合 a = {x ∈ x | f(x) = x}, a 是由所有满足 f(x) = x 的元素 x 组成的集合。

    第一个阿列夫不动点就是 a 中的最小元素

    对于f:x → x,我们可以定义这样的一个序列 {fn(x)}其中 n 是自然数,x 是 x 中的一个元素。这个序列表示对 x 迭代应用函数 f n 次的结果。

    阿列夫不动点的极限是由所有满足以下条件的元素 x 构成的集合:

    1:对于任意的 n,fn(x) = x;

    2:如果 y ∈ x 是一个不动点,即 f(y) = y,那么我们说 y 将会在序列 {fn(x)} 中的某个位置上

    不可达基数

    当且仅当k为不可达基数,若|x|<k,则p(x)<k,若丨s丨<k且x∈s,则丨us丨<k,若丨x丨<k以及f:x→k,则sup(f|x|)<k,丨vk丨=k=k

    k有一个无界闭子集:{a<k|a=|va|=a}

    拉姆齐基数

    拉姆齐基数:拉姆齐基数定理确立了w具有 r基数推广到不可数情况的特定性质,令让[ k ] <w表示k的所有有限子集的集合,一个不可数的基数 k 称为 r 如果,对于每个函数f : [ k ] <w → {0, 1},有一个基数k的集合a对于f是齐次的,也就是说,对于每个n,函数f在来自a的基数n的子集上是常数,如果a可以选择为 k 的平稳子集,则基数k被称为不可称的r,如果对于每个函数, 基数k实际上称为rf : [ k ] <w → {0, 1},有c是k的一个封闭且无界的子集,因此对于 c 中的每个λ具有不可数的共尾性,有一个λ的无界子集对于f是同质的;其对于每个λ < k , f的齐次集都需要阶类型λ,这些 r基数中的任何一个的存在都足以证明0 的存在,或者实际上每个秩小于k的集合都有一个尖,每个可测基数都是r大基数,每个 r大基数都是r大基数,介于 r和可测性之间的强度中间属性是k上存在k完全正态非主理想 i使得对于每个a  i和对于每个函数,f : [ k ] <w → {0, 1},有一个集合b  a不在i中,对于f是齐次的,r基数的存在意味着0 的存在,这反过来又代表kurt的可构公理的错误

    超巨大基数

    j:v→m,cr(j)=k并且j(k)>λ,λ>k,m对长度为j(λ)的序列封闭)

    可测基数

    集合s上的一个二值测度(a two-valued measure)μ是指一个定义在s的幂集p(s)上的函数,对于每一x∈p(s),μ(x) =0或μ(x) = 1,并且使得,给定s的两两不相交的子集的任何有穷或可数的集合Σ,如果Σ的每一元素(在μ下) 的值为0,则μ(uΣ)=0。测度μ称为非不足道,如果u(s) =1,并且对于s的每一有穷子集x,μ(x)=0。集合s称为是可测的,如果存在s上的一非不足道的测度。一个集合s是不是可测的只依赖于它的基数。可测集合的基数称为可测基数

    超强基数

    当且仅当存在基本嵌入 j :v→m从v到具有临界点k和v_j(k)m类似地,基数k是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : v→m从v到具有临界点k和v_jn(k)m 。akihirokanamori已经表明,对于每个n>0,n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。

    伯克利club

    基数k是伯克利基数,如果对于任何带k的传递集k∈m和任何序数α<k,都会有一个初等嵌入j:m<m和crit j<k,如果真的存在伯克利基数,那么就会有对力迫扩张绝对,它使最小的伯克利基数有共尾性w,通过对k的施加一定的条件,似乎可以增强berkeley性质,如果k是berkeley和α,α∈m且m有传递,那么对于任意α<k,都有一个j:m<m和α<crit j<k和crit j(a)=a,对于任意一个可传递的mk都存在j:mm与crit j<k,基数是berkeley,且仅当对于任何传递集mk存在j:mm和α<crit j<k,因此δ≥k,δ也是伯克利,最小的伯克利基数也被称为δ_α,称k为club-伯克利,如果k是正则的,并且对于所有club→ck和所有带k的传递集m∈m;有j∈e(m)和crit (j)∈c,称k为limit club伯克利,它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数,如果k为最小的伯克利,则y<k。

    伯克利

    berkeley基数是zermelo-fraenkel集合论模型中的基数k,具有以下性质:对于包含k和α<k的每个传递集m,存在m的非平凡初等嵌入,其中α<临界点<k berkeley 基数是比reinhardt基数严格更强的基数公理,这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是,对于vk上的每个二元关系r,都有(vk,r)的非平凡基本嵌入到自身中。这意味着我们有基本的j 1,j 2,j 3j 1 : (vk,∈)→(vk,∈), j 2 :(vk,∈,j 1 )→(vk,∈,j 1 ),j 3 :(vk,∈,j 1 ,j 2 )→(vk,∈,j 1 ,j 2 )等等。这可以持续任意有限次,并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。因此,似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数λ,存在一个zf + berkeley 基数的传递模型,该模型在λ序列下是封闭的。

    设 f : q xq &34;→[0,1]是一个 borel 函数,满足对于任意 xeqn ,以及 y , zeq ,

    如果 y ~ z ,则 f ( x , y )= f ( x , z )。

    那么存在一个序列( xk ) o ≤ k ≤ m ,对于所有的指标序列 s < t ,<…< tn ≤ m ,

    有 f ( xs ,(xt1,, xtn ))= xs +10

    这个定理在 zfc + v ( n < w )3k( k 是 n - mahlo )可以被证明,但对于任意固定的 n < w ,它不能在 zfc +3k( k 是 n - mahlo )的任何理论中被证明。

    (单就这个式子来看,qxqn是有理数集和n元自然数集到有理数集上映射的集合的笛卡尔积)

    w_1ck对应w_1

    ocf的折叠中Ω也可以是w_1

    Ω_α的容许点是i,递归不可达序数

    也就是α>Ω_α的容许点。

    第二个容许点是i(2)对应第4个不可达基数。

    i(1)对应第3个不可达基数

    α>i(α)的容许点是i(1,0)也许对应2-不可达基数

    m是马洛序数

    k是弱紧致序数对应弱紧致基数
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